⟦5e1351df0⟧

Text

%________________________
Computer-aided shipdesign.
 
Omfattende:
 
- fitning af polynomier til flader.
- repræsentation af overflader.
- interpolation.
 
De problemer man søger at løse, når et nyt skrog skal designes, er primært
de to nedenstående:
 
1) At skabe et skrog med en jævn/glat overflade (fairing).
 
2) At skabe et "produktionsnemt" skrog.
 
Pkt. 1) tilstræbes især af brændstoføkonomiske hensyn, idet man ønsker at
lave skibe med en såkaldt god "modstands-karakteristik" i bølger. Men formå-
let er mangesidigt, da det både går på størst mulig fart, mindst mulig motor,
der kan opfylde fartkravene, størst mulig lasteevne, mindst mulig pris og
som tidligere nævnt mindst muligt brændstofforbrug.
M.h.t. pkt. 2) er formålet hovedsageligt at designe et skib, der er så meget
lige op og ned (regelret), som overhovedet muligt. Det betyder bl.a., at man
@
forsøger at undgå, at der skal anvendes dobbelt-bukkede stålplader eller an-
dre lignende tidskrævende konstruktionselementer.
I et forsøg på at lette løsningen af disse problemer har man gennem mere end
50 år (Admiral Taylor udviklede allerede i 1915 nogle nu berømte "standard-
serier" for skibsmodeller, som var defineret på et matematisk grundlag) søgt
at definere skibsoverflader matematisk. Om årsagen hertil siger KUO i (17),
s. 1:"The prime reason for this interest lies in the possibility that effi-
cient methods may be developed through the use of mathematical expressions to
generate a smooth and aesthetically acceptable hull surface which would ful-
fill the design requirements and provide data suitable for performing the
theoretical calculations as well as for ship construction purposes based on
a minimum quantity of input information regarding the principal dimensions
and some of the associated design parameters.".
Det er kort fortalt de væsentligste årsager, men det bør nok suppleres med,
at de effektive metoder, som kan udvikles, er effektive, fordi de har en
form, som gør dem yderst anvendelige i forbindelse med brug af datamaskiner.
Det betyder, at den tidligere så langvarige proces (ofte 2-3 uger eller mere,
hvor alt andet arbejde på skibet måtte ligge stille) med manuelt at lave et
pænt glat skrog, nu er en saga blot. Desuden har den matematiske definering
af skroget store fordele i det efterfølgende arbejde, såvel i planlægningen
som i selve produktionen.
 
De anvendte metoder.
 
Ved udviklingen af et skibs linier anvender man i princippet en af de i det
følgende omtalte tre metoder a, b og c:
a.
Anvendelse af såkaldte standard serier, der er velkendte skibsformer, som
allerede foreligger på en matematisk defineret form. En form, hvor netop
disse standard serier er det bærende fundament. Princippet går ud på, at man
"interpolerer" sig til en ønsket ny skrog-form, udfra det udvalg af tilgænge-
lige designs, som erfaringen har vist at have gode egenskaber. Standard se-
rierne kan bestå af forskellige typer data (de kan foreligge på lidt for-
skellig form), men i princippet drejer det sig om et ret omfattende sæt af
koordinater i et 3-dim. rum, med bl.a. polynomier som beskrivelsesværktøj.
b.
Ud-/videre-bygning på et eksisterende design ("lines distortion approach").
I mange situationer ønsker man, ved ofte mindre ændringer, i nogle af form-
parametrene på et eksisterende "moder"-skib (det kan typisk dreje sig om at
ændre nogle koefficienter i polynomier, der beskriver det eksisterende skibs
form), at nå frem til et nyt skibs linier. I store træk går metoden ud på,
at man foretager en moderat ekstrapolation udfra "moderskibet", ved hjælp af
nogle passende matematiske operationer. I praksis foregår det, p.g.a. de
komplicerede/komplekse indbyrdes afhængigheder, ved at lade nogle få parame-
tre variere enkeltvis, holde få fast og så akseptere de deraf følgende æn-
@
dringer i mange andre. Derfor opdeler man denne ekstrapolation i trin og mo-
dificerer et sæt skrogformsegenskaber ad gangen og senere må man søge at
kompensere for uønskede sideeffekter fra ændringer i senere trin.
c.
Direkte generering af skibsoverflader udfra fastlagte (geometriske) skrog-
form-parametre.
I modsætning til de to førnævnte metoder - a og b - kræver denne ikke et
"moderskibsdesign". Skibets linier skabes matematisk, udelukkende på grund-
lag af fastlagte parametre, som definerer nogle væsentlige/essentielle kur-
ver i skrogformen og nogle andre betingelser. Det kan være kurver, der be-
skriver (dele af) agterstavn eller stævn og/eller betingelser, som at skibet
skal have konstant volumen, længde, bredde, opdriftspunkt o.l.
I de fleste tilfælde fungerer systemet, som en iterativ proces, hvor skibs-
designeren vha. nogle parametre, får fastlagt de enkelte sektioners grund-
læggende linier, men det fører ofte til, at nogle af parametrene må ændres,
da sammensætningen af de enkelte sektioner ledte til modsigelser eller nogle
uønskede former. Ifølge litteraturen - KUO (16) og (17) samt SCAHD 77 (35) -
lader det til at metoden hurtigt konvergerer for en erfaren designer.
 
Sammenfattende kan man om metoderne a, b og c sige, at a og b i høj grad er
udelukket på forhånd i mange situationer, nemlig i de situationer hvor man
ikke har et eller et sæt af forældreskibe til rådighed. Dette er oplagt et
problem indenfor tankskibsproduktionen, hvor skibene bliver større og større.
Men hvis der findes forældredesigns, har det vist sig, forudsat at man hol-
der sig til moderate ændringer, at a og b virkelig giver muligheder for at
høste udbytte af de erfaringer, som man har haft med "moderskibene". Metode
c har sin berettigelse, men da det er en ret ny metode, kræver den som mini-
mum, at det er erfarne designere, der anvender den.
 
 
%____________________________________
Bærende matematiske problemstillinger.
 
Ved bestemmelse af de matematiske kurver, som opfylder de ønskede krav om
form, søger man naturligvis at vælge funktioner, som så let som muligt lader
sig vælge, så de kan opfylde nogle form-parametre. Til dette formål har man
ofte valgt polynomier. Således brugte Taylor, D. W. (1915) til sine standard
serier 5te-grads polynomier til beskrivelse af forløbet af SAC og DWL (Sec-
tional Area Curve (tværsnit) og Design Waterline (længdesnit)). Siden Taylor
har man indtil for få år siden holdt sig til polynomier i forskellige sam-
menhænge og afskygninger. F.eks. har man ofte opløst polynomier i en sum af
lineært uafhængige polynomier, som hver tager sig af en formparameter. Men
i øvrigt kan man i flæng nævne nogle metoder:
@
- mindste kvadraters metode i forbindelse med brug af ortogonale Legendre
  polynomier.
- ordinære og ortogonale polynomier repræsenterer overfladeligninger.
- skibsoverflader opdeles i små under-overflader, som bliver approksimeret
  vha. lavere ordens ligninger.
- ortogonale polynomier og keglesnit bruges til at repræsentere forskellige
  dele af skibsoverfladen og til at sikre at "samlingerne" bliver glatte.
 
P.g.a. at der er problemer med at få højere ordens polynomier til at udvise
passende opførsel - de oscillerer lettere ved halvdårlige formparametervalg
og det er ikke muligt (uden særlige forholdsregler), at få første afledte til
at blive 0 i (0,0) eller uendelig for endelige x (se f.eks. Forsythe s.69,
afsnit 4.3, Runge's funktion).(11).
Derfor er man i de senere år gået over til at anvende "spline"-funktioner,
specielt såkaldte B-splines, som har flg. egenskaber fremfor de tidligere
mere anvendte almindelige polynomier:
 
1) Det er muligt at beskrive alle linier i skroget, som en kontinuert kurve,
hvis afledte også kan være kontinuerte op til en ønsket grad. Men herudover
er det ganske simpelt at muliggøre forskellige diskontinuiteter, som f.eks.
hjørner og knæk.
 
2) Det er muligt at tillade lokal kontrol med en hvilken som helst del af en
linie, uden at det medfører følgevirkninger i andre del-linier.
 
3) Det er muligt at specificere mange geometriske konstanter (faste punkter)
også uden at lægge bånd på hvilke værdier de må antage.
 
Men hvad er splines egentlig for noget?
Herom siger KUO i (16):"The spline tecknigue is an attempt to reproduce the
numerical analogue of the draftman's fairing proces via the use of a bat-
ten".
Matematisk set er splines sammensatte polynomier, typisk af 3.-grad, som
f.eks. aix3 + bix2 + cix + di, hvor koefficienterne (ai, bi, ci og di) er
koefficienterne for "det approksimerende polynomium" i et typisk interval
'i' mellem den i'te og i+1'te knude, hvor en knude er en af de givne koordi-
nater. Det viser sig (ifølge teorien for bjælker (35) s.11 og (11) s.70), at
denne type sammensatte polynomier sammensættes kontinuert med kontinuerte
1. og 2. afledede*.
Pointen ved anvendelsen af splines er, at de ligesom brædtet antager en form,
så den potentielle energi bliver mindst mulig. Og ifølge elementær bjælke-
teori er den potentielle energi mindst mulig, når nedenstående integrale an-
tager sin mindste værdi:
 
 
                         EI
 
 
@
hvor EI er bøjningsstivheden og d2y/dx2 repræsenterer kurvens/bjælkens for-
løb (krumning) for små værdier af y; L er den totale længde af spline/bjælke;
x uafh. og y afh. variabel.
Filosofien er altså, at den glatteste/pæneste kurve gennem et sæt af punkter
kan repræsenteres (og fås) som en tynd fleksibel bjælke/liste, som det kræ-
ver den mindst mulige energi, at holde i position.
Selve bestemmelsen af koefficienterne er en omfattende, regneteknisk triviel
og numerisk stabil proces, som vi ikke vil komme nærmere ind på her (se f.
eks. Forsythe et. al. (11) s.71-76).
 
 
* Hjørner, knæk og andre diskontinuiteter opnås ved at gentage/dublere
  det punkt (knude), hvor diskontinuiteten skal forekomme.
DataMuseum.dk

MIKADOS

⟦5e1351df0⟧

Derivation

Text
