⟦b46f1c970⟧

Text

For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-
elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har
ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-
onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i
det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:
               a   hvis a > 0
    a  =                        , a  Q .
              -a   hvis a < 0
Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:
Følgen (a )  fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis
   V   Q    n   N V m,n  N: m,n > n  =>   a  - a   <   .
En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,
hvis
     a  Q V   Q    n   N V n  N: n > n   =>  a  - a  <  .
Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra
Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a )  og
(b )  er to vilkårlige fundamentalfølger:
   (a )  + (b )  = (a  + b )
og tilsvarende for   :
   (a )    (b )  = (a    b )  og  c (a )   = (ca )  .
(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med
etelement.
Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation   i F, der harmo-
nerer med + og   , således:
   (a )    (b )  <=> (a  - b )  -> 0 for n->     (er en nul-
                                                      følge)
betragter vi mængden Q  = F/  , og kan nu vise, at (Q ,+, )
er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og   defi-
neres som i F.
Vi indfører nu en relation >   således, idet vi betegner to
vilkårlige elementer i Q  med    og    repræsenteret af fun-
damentalfølgerne (b )  og (a )  :
      >      <=>  b  - a  -> 0 for n ->    eller
                   q Q   n   N V n  N: n > n  => b  - a  >q.
Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-
sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende
sætning:
 
1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-
   morft med (Q,+, ).
2) Relationen >   er en total ordningsrelation på Q , der
   udvider >  og harmonerer med + og   i (Q ,+, ).
3) Q' er tæt i Q , dvs.
      V  ,   Q      Q':   <  <
4) (Q ,+, ,>  ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,
   at enhver fundamentalfølge fra Q  er konvergent.
 
Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke
længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi
vil fremover benævne Q  med R.
 
Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-
skaber ved talsystemerne.
 
En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.
at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele
tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom
opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har
en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et
største element.
Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,
at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har
et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De
hele tal er altså ikke en velordnet mængde.
Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister
mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en
efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-
så bort fra og med de rationale tal.
Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,
at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-
onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige
rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der
ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i
forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være
tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem
intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q.

TextFile

<For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-<9elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har9<ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-<:onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i:%det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:%▶1d◀               a   hvis a > 0▶1d◀(    a  =                        , a  Q .(▶1d◀              -a   hvis a < 0▶1d◀3Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:33Følgen (a )  fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis38   V   Q    n   N V m,n  N: m,n > n  =>   a  - a   <   .8:En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,:▶04◀hvis▶04◀9     a  Q V   Q    n   N V n  N: n > n   =>  a  - a  <  .9;Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra;<Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a )  og<)(b )  er to vilkårlige fundamentalfølger:)▶1c◀   (a )  + (b )  = (a  + b )▶1c◀▶16◀og tilsvarende for   :▶16◀5   (a )    (b )  = (a    b )  og  c (a )   = (ca )  .59(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med9
etelement.
;Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation   i F, der harmo-;▶1b◀nerer med + og   , således:▶1b◀<   (a )    (b )  <=> (a  - b )  -> 0 for n->     (er en nul-<<                                                      følge)<;betragter vi mængden Q  = F/  , og kan nu vise, at (Q ,+, );;er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og   defi-;▶0e◀neres som i F.▶0e◀;Vi indfører nu en relation >   således, idet vi betegner to;<vilkårlige elementer i Q  med    og    repræsenteret af fun-<!damentalfølgerne (b )  og (a )  :!0      >      <=>  b  - a  -> 0 for n ->    eller0<                   q Q   n   N V n  N: n > n  => b  - a  >q.<;Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-;8sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende8▶08◀sætning:▶08◀▶01◀ ▶01◀<1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-<▶15◀   morft med (Q,+, ).▶15◀92) Relationen >   er en total ordningsrelation på Q , der92   udvider >  og harmonerer med + og   i (Q ,+, ).2▶17◀3) Q' er tæt i Q , dvs.▶17◀▶1e◀      V  ,   Q      Q':   <  <▶1e◀<4) (Q ,+, ,>  ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,<3   at enhver fundamentalfølge fra Q  er konvergent.3▶01◀ ▶01◀<Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke<;længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi;▶1e◀vil fremover benævne Q  med R.▶1e◀▶01◀ ▶01◀<Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-<▶19◀skaber ved talsystemerne.▶19◀▶01◀ ▶01◀<En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.<;at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele;:tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom::opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har:8en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et8▶10◀største element.▶10◀:Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,:9at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har99et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De9+hele tal er altså ikke en velordnet mængde.+:Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister:9mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en9;efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-;$så bort fra og med de rationale tal.$<Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,<<at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-<<onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige<9rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der9<ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i<9forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være99tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem9/intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q./▶00◀▶00◀cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc

DataMuseum.dk

MIKADOS

⟦b46f1c970⟧ TextFile

Derivation

Text

TextFile