DataMuseum.dk

procedure FRC(x, cc, sc, alarm);
_________
     value    x                ;
     _____
     real     x, cc, sc        ;
     ____
     label               alarm ;
     _____
     comment
     _______
     Proceduren FRC beregner de komplementære Fresnel-integraler, dvs
     de bestemte integraler fra x til uendelig af funktionerne
     cos(t)/sqrt(2⨯pi⨯t) og sin(t)/sqrt(2⨯pi⨯t).
     Integralerne approksimeres med lignende funktioner som angivet af
     J.Boersma i Math.Comp. 14(1960), p.380 .
     Det bemærkes, at værdierne af konstanterne i polynomierne angivet i
     ovenstaaende har enkelte fejl paa sidste decimal, men dette skulle
     være rettet her efter anvisning af Boersma.
     Parametrene er:
     x     : nedre grænse for integralerne, x er uændret ved udhop fra FRC,
     cc    : indeholder ved udhop det komplementære Fresnel-integral af
             cos(t)/sqrt(2⨯pi⨯t),
     sc    : indeholder ved udhop det komplementære Fresnel-integral af
             sin(t)/sqrt(2⨯pi⨯t),
     alarm : en label, hvortil der hoppes, hvis x < 0;
          begin
          _____
          real a, b, s, c, u, q;
          ____
          procedure pol(a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,z,p);
          _________
               value    a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,z   ;
               _____
               real     a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,z,p ;
               ____
               comment
               _______
               Proceduren pol beregner værdien af et polynomium i z af
               grad 11 med koefficienterne a0,a1,...,a11 .
               Parametrene er:
               a0  : koefficienten til z∧0 ,
                                        |
               a1  :       -        -  z∧1 ,
                                        |
               a11 :       -        -  z∧11,
                                        |
               z   : skal ved indhoppet indeholde værdien af den uafh.
                     variable,
               p   : indeholder ved udhoppet værdien af polynomiet;
               p:= ((((((((((a11⨯z+a10)⨯z+a9)⨯z+a8)⨯z+a7)⨯z+a6)⨯
               z+a5)⨯z+a4)⨯z+a3)⨯z+a2)⨯z+a1)⨯z+a0;
          if x < 0 then go to alarm;
          __       ____ __ __
          c := cos(x) ; s := sin(x);
          u := if x < 4 then x/4 else 4/x;
               __       ____     ____
          q := sqrt(u);
          if x _ 4 then go to over 4 ;
          __   >   ____ __ __
[stop]
          under 4 :
          pol( 1.595769140, -0.000001702, -6.808568856, -0.000576361,
               6.920691905, -0.016898657, -3.050485662, -0.075752420,
               0.850663781, -0.025639041, -0.150230960,  0.034404779,
              u, a);
          pol(-0.000000033,  4.255387524, -0.000092809, -7.780020406,
              -0.009520896,  5.075161301, -0.138341946, -1.363729125,
              -0.403349276,  0.702222017, -0.216195929,  0.019547031,
              u, b);
          cc := 0.5 - q⨯(c⨯a+s⨯b);
          sc := 0.5 - q⨯(s⨯a-c⨯b);
          comment nu færdig hvis x < 4;
          _______
          go to slut;
          __ __
          over 4 :
          pol( 0          , -0.024933975,  0.000003936,  0.005770956,
               0.000689892, -0.009497136,  0.011948809, -0.006748873,
               0.000246420,  0.002102967, -0.001217930,  0.000233939,
              u, a);
          pol( 0.199471140,  0.000000023, -0.009351341,  0.000023006,
               0.004851466,  0.001903218, -0.017122914,  0.029064067,
              -0.027928955,  0.016497308, -0.005598515,  0.000838386,
              u, b);
          cc := - q⨯(c⨯a+s⨯b);
          sc :=   q⨯(c⨯b-s⨯a);
          comment nu færdig hvis x _ 4;
          _______                  >
          slut:
          end
          ___
Proceduren FRC er blevet afprøvet med et program, der ogsaa beregner
de almindelige Fresnel-integraler C(x) og S(x) , som defineres ved
C(x) =    ----- dt   og S(x) =    ----- dt       ,
hvor der gælder følgende relationer
C(x) + cc(x) = 1/2     og  S(x) + sc(x) = 1/2,
Resultaterne anføres i følgende tabel:
Prøve af komplementære Fresnel-integraler.
x =         C =            cc =           S =            sc =
 0.000       0.00000000    +0.50000000     0.00000000    +0.50000000
 3.000      +0.56102033    -0.06102033    +0.71168502    -0.21168502
 7.000      +0.59011606    -0.09011606    +0.38119447    +0.11880553
10.000      +0.43696395    +0.06303605    +0.60843626    -0.10843626
50.000      +0.48465790    +0.01534210    +0.44572171    +0.05427829
37.710      +0.49984788    +0.00015212    +0.43506320    +0.06493680
17.170      +0.40482875    +0.09517125    +0.51317796    -0.01317796
Resultaterne for C(x)  og S(x) afrundes til 6 decimaler og sammenlignes
med tabellerne: Watson:  Theory of Bessel Functions (Cambridge, 2nd ed.
1944) p.744 ,  samt  Pearcey: Table of the Fresnel Integral (Cambridge
1956). Kun værdierne S(7.000) og C(17.170) afveg med  110-6 fra tabel-
værdierne.
                                          15.9.62.
                                          Søren Christiansen;
[stop]