|
DataMuseum.dkPresents historical artifacts from the history of: MIKADOS |
This is an automatic "excavation" of a thematic subset of
See our Wiki for more about MIKADOS Excavated with: AutoArchaeologist - Free & Open Source Software. |
top - download
Length: 8736 (0x2220)
Types: TextFile
Notes: Mikados_K
Names: »STRUKTUR.K«
└─⟦98735d749⟧ Bits:30007443 8" floppy ( TEXT ) vedr. matematik i skibsindustrien
└─⟦this⟧ »STRUKTUR.K«
TALSYSTEMERNES OPBYGNING.
STRUKTURPAPIR.
Vi ønsker at udvide semi-gruppen bestående af de naturlige
tal med kompositionen +, (N,+), til den kommutative gruppe
(Z,+), bestående af de hele tal med den til denne mængde
tilpassede komposition +. En konsekvens af denne udvidelse
er, at det bliver muligt at løse alle ligninger af formen
a + x = b.
Vi ønsker samtidig at udvide kompositionen indenfor de na-
turlige tal til kompositionen indenfor de hele tal.
For at kunne løse alle ligninger af formen
a x + b = c,
vil vi udvide den kommutative integritetsring bestående af
mængden af hele tal med kompositionerne + og (Z,+, ), hvor
(Z 0 , ) altså ikke er en gruppe, til det kommutative legeme
(Q,+, ) med kompositionerne + og indenfor de rationale tal.
Dette legeme ønsker vi endelig at udvide til de reelle tals
fuldstændige legeme, hvorved ikke alene ligninger af typen
x x = 2,
får løsninger, men hvor også visse følger af rationale tal,
fundamentalfølger, der ikke konvergerer indenfor de
rationale tal, kan vises at konvergere mod en grænseværdi
fra legemet, nemlig et reelt tal.
Vi ønsker, at de tre udvidelser skal være "ens" i den
forstand, at der dels eksisterer en delmængde af den
udvidede algebraiske struktur, der er isomorf med den
underliggende struktur, dels at alle elementer i den
udvidede struktur kan dannes udfra elementer i den
underliggende struktur. Endvidere gælder der om alle tre ud-
videlser, at de er entydigt bestemt pånær isomorfi, altså at
alle tænkelige udvidelser, der tilfredsstiller ovennævnte
krav, vil være isomorfe.
Den første udvidelse fra de naturlige til de hele tal sker
gennem beviset af følgende sætning:
Der findes en kommutativ gruppe (G,+), som har følgende eg-
enskaber:
1) Der findes en delmængde (N,+) af (G,+), der isomorf med
(N,+).
2) Ethvert element g i G kan skrives på formen
g = m - n
for et m og et n i N, idet - n betegner addition af det
til + svarende inverse element til n.
Gruppen (G,+) er entydigt bestemt pånær isomorfi på en sådan
måde, at andre gennem 1) og 2) bestemte kommutative grupper
er isomorfe med (G,+) sådan at også den tilsvarende "natur-
ligtals delmængde" er isomorf med (N,+).
Fidusen i beviset består i at definere G som mængden af æk-
vivalensklasser i N N bestemt ved ækvivalensrelationen ,
defineret ved :
V (m ,n ), (m ,n ) N N: (m ,n ) (m ,n ) = m +n = m + .
I mængden G defineres kompositionen + så således:
V g ,g G: g +g = g +g = g
Beviset for, at den således definerede gruppe (G,+) opfylder
sætningen, er nu hovedsagelig af teknisk art, og vi vil
fremover benævne G som Z.
Ved at definere relationen > på de hele tal ved:
u > z = u - v N,
vises det let, at > er en total ordningsrelation, og at re-
lationen er en udvidelse af ordningsrelationen > på de na-
turlige tal.
Idet to vilkårlige hele tal g og g kan skrives som
g = m - n og g = m -n for m ,m ,n ,n naturlige tal, de-
fineres i Z ved:
g g = (m m + n n ) - (m n + m n ).
defineret således kan vises at udgøre en udvidelse af i
N.
Udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal kommer i
stand ved at bevise følgende sætning:
Der findes et kommutativt legeme (L,+, ) med følgende egen-
skaber:
1) Der findes en delmængde M af L, så at (M,+, ) er en kom-
mutativ integritetsring indeholdende etelementet, og så
at (Z,+, ) er isomorft med (M,+, ).
2) Ethvert element r L kan fremstilles på formen: r = uv
for et u M og et V M 0 .
3) (L,+, ) er i følgende forstand det mindste kommutative
legeme, der har (Z,+, ) som delring: Hvis (L',+, ) er et
kommutativt legeme, der har (Z,+, ) som delring (i samme
betydning som 1)), findes et dellegeme af (L',+, ), som
er isomorft med (L,+, ).
4) Hvis (L ,+, ) opfylder 1) og 2) er (L,+, ) isomorft med
(L ,+, ).
I dette bevis er fidusen at definere L som kvotientmængden
P/ , idet P er mængden af talpar fra ZxZ, hvor andenkompo-
nenten er forskellig fra 0, og ækvivalensrelationen er
defineret ved:
V (p,q),(s,t) P: (p,q) (s,t) = pt = qs.
Vi definerer nu + i L således, idet (u,v) og (s,t) er repræ-
sentanter for to mængder i L:
(u,v) + (s,t) = (ut + vs,vt)
På tilsvarende måde defineres i L således:
(u,v) (s,t) = (us,vt).
Beviset for sætningen er herefter af teknisk art, omend ret
omfattende, og vi vil herefter benævne L som Q. Den traditi-
inelle opfattelse af et rationalt tal kan findes ved at op-
fatte hhv. 1. og 2. komponent som hhv. tæller og nævner.
Relationen > defineret som
r > q = (r - q) Q 0 , vises let at være en total
ordningsrelation, der harmonerer med + og og er en udvi-
delse af > .
For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-
elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har
ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-
onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i
det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:
a hvis a > 0
a = , a Q .
-a hvis a < 0
Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:
Følgen (a ) fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis
V Q n N V m,n N: m,n > n => a - a < .
En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,
hvis
a Q V Q n N V n N: n > n => a - a < .
Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra
Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a ) og
(b ) er to vilkårlige fundamentalfølger:
(a ) + (b ) = (a + b )
og tilsvarende for :
(a ) (b ) = (a b ) og c (a ) = (ca ) .
(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med
etelement.
Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation i F, der harmo-
nerer med + og , således:
(a ) (b ) <=> (a - b ) -> 0 for n-> (er en nul-
følge)
betragter vi mængden Q = F/ , og kan nu vise, at (Q ,+, )
er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og defi-
neres som i F.
Vi indfører nu en relation > således, idet vi betegner to
vilkårlige elementer i Q med og repræsenteret af fun-
damentalfølgerne (b ) og (a ) :
> <=> b - a -> 0 for n -> eller
q Q n N V n N: n > n => b - a >q.
Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-
sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende
sætning:
1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-
morft med (Q,+, ).
2) Relationen > er en total ordningsrelation på Q , der
udvider > og harmonerer med + og i (Q ,+, ).
3) Q' er tæt i Q , dvs.
V , Q Q': < <
4) (Q ,+, ,> ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,
at enhver fundamentalfølge fra Q er konvergent.
Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke
længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi
vil fremover benævne Q med R.
Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-
skaber ved talsystemerne.
En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.
at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele
tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom
opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har
en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et
største element.
Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,
at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har
et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De
hele tal er altså ikke en velordnet mængde.
Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister
mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en
efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-
så bort fra og med de rationale tal.
Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,
at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-
onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige
rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der
ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i
forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være
tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem
intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q.
0x0000…001b Line {l1=0x19, l2=»TALSYSTEMERNES OPBYGNING.«, l3=0x19}
0x001b…002b Line {l1=0x0e, l2=»STRUKTURPAPIR.«, l3=0x0e}
0x002b…002e Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x002e…006b Line {l1=0x3b, l2=»Vi ønsker at udvide semi-gruppen bestående af de naturlige «, l3=0x3b}
0x006b…00a7 Line {l1=0x3a, l2=»tal med kompositionen +, (N,+), til den kommutative gruppe«, l3=0x3a}
0x00a7…00e1 Line {l1=0x38, l2=»(Z,+), bestående af de hele tal med den til denne mængde«, l3=0x38}
0x00e1…011d Line {l1=0x3a, l2=»tilpassede komposition +. En konsekvens af denne udvidelse«, l3=0x3a}
0x011d…0158 Line {l1=0x39, l2=»er, at det bliver muligt at løse alle ligninger af formen«, l3=0x39}
0x0158…0166 Line {l1=0x0c, l2=» a + x = b.«, l3=0x0c}
0x0166…0169 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0169…01a7 Line {l1=0x3c, l2=»Vi ønsker samtidig at udvide kompositionen indenfor de na-«, l3=0x3c}
0x01a7…01de Line {l1=0x35, l2=»turlige tal til kompositionen indenfor de hele tal.«, l3=0x35}
0x01de…01e1 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x01e1…020d Line {l1=0x2a, l2=»For at kunne løse alle ligninger af formen«, l3=0x2a}
0x020d…021d Line {l1=0x0e, l2=» a x + b = c,«, l3=0x0e}
0x021d…0259 Line {l1=0x3a, l2=»vil vi udvide den kommutative integritetsring bestående af«, l3=0x3a}
0x0259…0295 Line {l1=0x3a, l2=»mængden af hele tal med kompositionerne + og (Z,+, ), hvor«, l3=0x3a}
0x0295…02d3 Line {l1=0x3c, l2=»(Z 0 , ) altså ikke er en gruppe, til det kommutative legeme«, l3=0x3c}
0x02d3…0310 Line {l1=0x3b, l2=»(Q,+, ) med kompositionerne + og indenfor de rationale tal.«, l3=0x3b}
0x0310…0313 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0313…0351 Line {l1=0x3c, l2=»Dette legeme ønsker vi endelig at udvide til de reelle tals «, l3=0x3c}
0x0351…038d Line {l1=0x3a, l2=»fuldstændige legeme, hvorved ikke alene ligninger af typen«, l3=0x3a}
0x038d…0399 Line {l1=0x0a, l2=» x x = 2,«, l3=0x0a}
0x0399…03d7 Line {l1=0x3c, l2=»får løsninger, men hvor også visse følger af rationale tal, «, l3=0x3c}
0x03d7…040c Line {l1=0x33, l2=»fundamentalfølger, der ikke konvergerer indenfor de«, l3=0x33}
0x040c…0447 Line {l1=0x39, l2=»rationale tal, kan vises at konvergere mod en grænseværdi«, l3=0x39}
0x0447…046a Line {l1=0x21, l2=»fra legemet, nemlig et reelt tal.«, l3=0x21}
0x046a…046d Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x046d…04a5 Line {l1=0x36, l2=»Vi ønsker, at de tre udvidelser skal være "ens" i den «, l3=0x36}
0x04a5…04db Line {l1=0x34, l2=»forstand, at der dels eksisterer en delmængde af den«, l3=0x34}
0x04db…0512 Line {l1=0x35, l2=»udvidede algebraiske struktur, der er isomorf med den«, l3=0x35}
0x0512…0549 Line {l1=0x35, l2=»underliggende struktur, dels at alle elementer i den «, l3=0x35}
0x0549…057d Line {l1=0x32, l2=»udvidede struktur kan dannes udfra elementer i den«, l3=0x32}
0x057d…05bb Line {l1=0x3c, l2=»underliggende struktur. Endvidere gælder der om alle tre ud-«, l3=0x3c}
0x05bb…05f9 Line {l1=0x3c, l2=»videlser, at de er entydigt bestemt pånær isomorfi, altså at«, l3=0x3c}
0x05f9…0634 Line {l1=0x39, l2=»alle tænkelige udvidelser, der tilfredsstiller ovennævnte«, l3=0x39}
0x0634…064e Line {l1=0x18, l2=»krav, vil være isomorfe.«, l3=0x18}
0x064e…0651 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0651…068d Line {l1=0x3a, l2=»Den første udvidelse fra de naturlige til de hele tal sker«, l3=0x3a}
0x068d…06b2 Line {l1=0x23, l2=»gennem beviset af følgende sætning:«, l3=0x23}
0x06b2…06b5 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x06b5…06f2 Line {l1=0x3b, l2=»Der findes en kommutativ gruppe (G,+), som har følgende eg-«, l3=0x3b}
0x06f2…06fd Line {l1=0x09, l2=»enskaber:«, l3=0x09}
0x06fd…0739 Line {l1=0x3a, l2=»1) Der findes en delmængde (N,+) af (G,+), der isomorf med«, l3=0x3a}
0x0739…0744 Line {l1=0x09, l2=» (N,+).«, l3=0x09}
0x0744…0774 Line {l1=0x2e, l2=»2) Ethvert element g i G kan skrives på formen«, l3=0x2e}
0x0774…0782 Line {l1=0x0c, l2=» g = m - n«, l3=0x0c}
0x0782…07be Line {l1=0x3a, l2=» for et m og et n i N, idet - n betegner addition af det«, l3=0x3a}
0x07be…07e8 Line {l1=0x28, l2=» til + svarende inverse element til n.«, l3=0x28}
0x07e8…0826 Line {l1=0x3c, l2=»Gruppen (G,+) er entydigt bestemt pånær isomorfi på en sådan«, l3=0x3c}
0x0826…0863 Line {l1=0x3b, l2=»måde, at andre gennem 1) og 2) bestemte kommutative grupper«, l3=0x3b}
0x0863…08a0 Line {l1=0x3b, l2=»er isomorfe med (G,+) sådan at også den tilsvarende "natur-«, l3=0x3b}
0x08a0…08ca Line {l1=0x28, l2=»ligtals delmængde" er isomorf med (N,+).«, l3=0x28}
0x08ca…08cd Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x08cd…090a Line {l1=0x3b, l2=»Fidusen i beviset består i at definere G som mængden af æk-«, l3=0x3b}
0x090a…0945 Line {l1=0x39, l2=»vivalensklasser i N N bestemt ved ækvivalensrelationen ,«, l3=0x39}
0x0945…0956 Line {l1=0x0f, l2=»defineret ved :«, l3=0x0f}
0x0956…0992 Line {l1=0x3a, l2=» V (m ,n ), (m ,n ) N N: (m ,n ) (m ,n ) = m +n = m + .«, l3=0x3a}
0x0992…09c5 Line {l1=0x31, l2=»I mængden G defineres kompositionen + så således:«, l3=0x31}
0x09c5…09f1 Line {l1=0x2a, l2=» V g ,g G: g +g = g +g = g«, l3=0x2a}
0x09f1…0a2f Line {l1=0x3c, l2=»Beviset for, at den således definerede gruppe (G,+) opfylder«, l3=0x3c}
0x0a2f…0a68 Line {l1=0x37, l2=»sætningen, er nu hovedsagelig af teknisk art, og vi vil«, l3=0x37}
0x0a68…0a83 Line {l1=0x19, l2=»fremover benævne G som Z.«, l3=0x19}
0x0a83…0a86 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0a86…0ab9 Line {l1=0x31, l2=»Ved at definere relationen > på de hele tal ved:«, l3=0x31}
0x0ab9…0ad3 Line {l1=0x18, l2=» u > z = u - v N,«, l3=0x18}
0x0ad3…0b11 Line {l1=0x3c, l2=»vises det let, at > er en total ordningsrelation, og at re-«, l3=0x3c}
0x0b11…0b4e Line {l1=0x3b, l2=»lationen er en udvidelse af ordningsrelationen > på de na-«, l3=0x3b}
0x0b4e…0b5c Line {l1=0x0c, l2=»turlige tal.«, l3=0x0c}
0x0b5c…0b5f Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0b5f…0b95 Line {l1=0x34, l2=»Idet to vilkårlige hele tal g og g kan skrives som«, l3=0x34}
0x0b95…0bd3 Line {l1=0x3c, l2=»g = m - n og g = m -n for m ,m ,n ,n naturlige tal, de-«, l3=0x3c}
0x0bd3…0be7 Line {l1=0x12, l2=»fineres i Z ved:«, l3=0x12}
0x0be7…0c12 Line {l1=0x29, l2=» g g = (m m + n n ) - (m n + m n ).«, l3=0x29}
0x0c12…0c4f Line {l1=0x3b, l2=» defineret således kan vises at udgøre en udvidelse af i«, l3=0x3b}
0x0c4f…0c53 Line {l1=0x02, l2=»N.«, l3=0x02}
0x0c53…0c56 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0c56…0c90 Line {l1=0x38, l2=»Udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal kommer i«, l3=0x38}
0x0c90…0cb7 Line {l1=0x25, l2=»stand ved at bevise følgende sætning:«, l3=0x25}
0x0cb7…0cba Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0cba…0cf7 Line {l1=0x3b, l2=»Der findes et kommutativt legeme (L,+, ) med følgende egen-«, l3=0x3b}
0x0cf7…0d00 Line {l1=0x07, l2=»skaber:«, l3=0x07}
0x0d00…0d3d Line {l1=0x3b, l2=»1) Der findes en delmængde M af L, så at (M,+, ) er en kom-«, l3=0x3b}
0x0d3d…0d79 Line {l1=0x3a, l2=» mutativ integritetsring indeholdende etelementet, og så«, l3=0x3a}
0x0d79…0da1 Line {l1=0x26, l2=» at (Z,+, ) er isomorft med (M,+, ).«, l3=0x26}
0x0da1…0ddc Line {l1=0x39, l2=»2) Ethvert element r L kan fremstilles på formen: r = uv«, l3=0x39}
0x0ddc…0dfa Line {l1=0x1c, l2=» for et u M og et V M 0 .«, l3=0x1c}
0x0dfa…0e35 Line {l1=0x39, l2=»3) (L,+, ) er i følgende forstand det mindste kommutative«, l3=0x39}
0x0e35…0e72 Line {l1=0x3b, l2=» legeme, der har (Z,+, ) som delring: Hvis (L',+, ) er et«, l3=0x3b}
0x0e72…0eaf Line {l1=0x3b, l2=» kommutativt legeme, der har (Z,+, ) som delring (i samme«, l3=0x3b}
0x0eaf…0eeb Line {l1=0x3a, l2=» betydning som 1)), findes et dellegeme af (L',+, ), som«, l3=0x3a}
0x0eeb…0f08 Line {l1=0x1b, l2=» er isomorft med (L,+, ).«, l3=0x1b}
0x0f08…0f44 Line {l1=0x3a, l2=»4) Hvis (L ,+, ) opfylder 1) og 2) er (L,+, ) isomorft med«, l3=0x3a}
0x0f44…0f52 Line {l1=0x0c, l2=» (L ,+, ).«, l3=0x0c}
0x0f52…0f55 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0f55…0f91 Line {l1=0x3a, l2=»I dette bevis er fidusen at definere L som kvotientmængden«, l3=0x3a}
0x0f91…0fcd Line {l1=0x3a, l2=»P/ , idet P er mængden af talpar fra ZxZ, hvor andenkompo-«, l3=0x3a}
0x0fcd…1007 Line {l1=0x38, l2=»nenten er forskellig fra 0, og ækvivalensrelationen er«, l3=0x38}
0x1007…1017 Line {l1=0x0e, l2=»defineret ved:«, l3=0x0e}
0x1017…1047 Line {l1=0x2e, l2=» V (p,q),(s,t) P: (p,q) (s,t) = pt = qs.«, l3=0x2e}
0x1047…1085 Line {l1=0x3c, l2=»Vi definerer nu + i L således, idet (u,v) og (s,t) er repræ-«, l3=0x3c}
0x1085…10a4 Line {l1=0x1d, l2=»sentanter for to mængder i L:«, l3=0x1d}
0x10a4…10c5 Line {l1=0x1f, l2=» (u,v) + (s,t) = (ut + vs,vt)«, l3=0x1f}
0x10c5…10f3 Line {l1=0x2c, l2=»På tilsvarende måde defineres i L således:«, l3=0x2c}
0x10f3…1110 Line {l1=0x1b, l2=» (u,v) (s,t) = (us,vt).«, l3=0x1b}
0x1110…114d Line {l1=0x3b, l2=»Beviset for sætningen er herefter af teknisk art, omend ret«, l3=0x3b}
0x114d…118b Line {l1=0x3c, l2=»omfattende, og vi vil herefter benævne L som Q. Den traditi-«, l3=0x3c}
0x118b…11c8 Line {l1=0x3b, l2=»inelle opfattelse af et rationalt tal kan findes ved at op-«, l3=0x3b}
0x11c8…1202 Line {l1=0x38, l2=»fatte hhv. 1. og 2. komponent som hhv. tæller og nævner.«, l3=0x38}
0x1202…121f Line {l1=0x1b, l2=»Relationen > defineret som«, l3=0x1b}
0x121f…125d Line {l1=0x3c, l2=» r > q = (r - q) Q 0 , vises let at være en total«, l3=0x3c}
0x125d…1299 Line {l1=0x3a, l2=»ordningsrelation, der harmonerer med + og og er en udvi-«, l3=0x3a}
0x1299…12a7 Line {l1=0x0c, l2=»delse af > .«, l3=0x0c}
0x12a7…12aa Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x12aa…12e8 Line {l1=0x3c, l2=»For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-«, l3=0x3c}
0x12e8…1323 Line {l1=0x39, l2=»elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har«, l3=0x39}
0x1323…1361 Line {l1=0x3c, l2=»ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-«, l3=0x3c}
0x1361…139d Line {l1=0x3a, l2=»onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i«, l3=0x3a}
0x139d…13c4 Line {l1=0x25, l2=»det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:«, l3=0x25}
0x13c4…13e3 Line {l1=0x1d, l2=» a hvis a > 0«, l3=0x1d}
0x13e3…140d Line {l1=0x28, l2=» a = , a Q .«, l3=0x28}
0x140d…142c Line {l1=0x1d, l2=» -a hvis a < 0«, l3=0x1d}
0x142c…1461 Line {l1=0x33, l2=»Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:«, l3=0x33}
0x1461…1496 Line {l1=0x33, l2=»Følgen (a ) fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis«, l3=0x33}
0x1496…14d0 Line {l1=0x38, l2=» V Q n N V m,n N: m,n > n => a - a < .«, l3=0x38}
0x14d0…150c Line {l1=0x3a, l2=»En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,«, l3=0x3a}
0x150c…1512 Line {l1=0x04, l2=»hvis«, l3=0x04}
0x1512…154d Line {l1=0x39, l2=» a Q V Q n N V n N: n > n => a - a < .«, l3=0x39}
0x154d…158a Line {l1=0x3b, l2=»Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra«, l3=0x3b}
0x158a…15c8 Line {l1=0x3c, l2=»Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a ) og«, l3=0x3c}
0x15c8…15f3 Line {l1=0x29, l2=»(b ) er to vilkårlige fundamentalfølger:«, l3=0x29}
0x15f3…1611 Line {l1=0x1c, l2=» (a ) + (b ) = (a + b )«, l3=0x1c}
0x1611…1629 Line {l1=0x16, l2=»og tilsvarende for :«, l3=0x16}
0x1629…1660 Line {l1=0x35, l2=» (a ) (b ) = (a b ) og c (a ) = (ca ) .«, l3=0x35}
0x1660…169b Line {l1=0x39, l2=»(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med«, l3=0x39}
0x169b…16a7 Line {l1=0x0a, l2=»etelement.«, l3=0x0a}
0x16a7…16e4 Line {l1=0x3b, l2=»Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation i F, der harmo-«, l3=0x3b}
0x16e4…1701 Line {l1=0x1b, l2=»nerer med + og , således:«, l3=0x1b}
0x1701…173f Line {l1=0x3c, l2=» (a ) (b ) <=> (a - b ) -> 0 for n-> (er en nul-«, l3=0x3c}
0x173f…177d Line {l1=0x3c, l2=» følge)«, l3=0x3c}
0x177d…17ba Line {l1=0x3b, l2=»betragter vi mængden Q = F/ , og kan nu vise, at (Q ,+, )«, l3=0x3b}
0x17ba…17f7 Line {l1=0x3b, l2=»er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og defi-«, l3=0x3b}
0x17f7…1807 Line {l1=0x0e, l2=»neres som i F.«, l3=0x0e}
0x1807…1844 Line {l1=0x3b, l2=»Vi indfører nu en relation > således, idet vi betegner to«, l3=0x3b}
0x1844…1882 Line {l1=0x3c, l2=»vilkårlige elementer i Q med og repræsenteret af fun-«, l3=0x3c}
0x1882…18a5 Line {l1=0x21, l2=»damentalfølgerne (b ) og (a ) :«, l3=0x21}
0x18a5…18d7 Line {l1=0x30, l2=» > <=> b - a -> 0 for n -> eller«, l3=0x30}
0x18d7…1915 Line {l1=0x3c, l2=» q Q n N V n N: n > n => b - a >q.«, l3=0x3c}
0x1915…1952 Line {l1=0x3b, l2=»Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-«, l3=0x3b}
0x1952…198c Line {l1=0x38, l2=»sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende«, l3=0x38}
0x198c…1996 Line {l1=0x08, l2=»sætning:«, l3=0x08}
0x1996…1999 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1999…19d7 Line {l1=0x3c, l2=»1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-«, l3=0x3c}
0x19d7…19ee Line {l1=0x15, l2=» morft med (Q,+, ).«, l3=0x15}
0x19ee…1a29 Line {l1=0x39, l2=»2) Relationen > er en total ordningsrelation på Q , der«, l3=0x39}
0x1a29…1a5d Line {l1=0x32, l2=» udvider > og harmonerer med + og i (Q ,+, ).«, l3=0x32}
0x1a5d…1a76 Line {l1=0x17, l2=»3) Q' er tæt i Q , dvs.«, l3=0x17}
0x1a76…1a96 Line {l1=0x1e, l2=» V , Q Q': < <«, l3=0x1e}
0x1a96…1ad4 Line {l1=0x3c, l2=»4) (Q ,+, ,> ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,«, l3=0x3c}
0x1ad4…1b09 Line {l1=0x33, l2=» at enhver fundamentalfølge fra Q er konvergent.«, l3=0x33}
0x1b09…1b0c Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1b0c…1b4a Line {l1=0x3c, l2=»Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke«, l3=0x3c}
0x1b4a…1b87 Line {l1=0x3b, l2=»længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi«, l3=0x3b}
0x1b87…1ba7 Line {l1=0x1e, l2=»vil fremover benævne Q med R.«, l3=0x1e}
0x1ba7…1baa Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1baa…1be8 Line {l1=0x3c, l2=»Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-«, l3=0x3c}
0x1be8…1c03 Line {l1=0x19, l2=»skaber ved talsystemerne.«, l3=0x19}
0x1c03…1c06 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1c06…1c44 Line {l1=0x3c, l2=»En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.«, l3=0x3c}
0x1c44…1c81 Line {l1=0x3b, l2=»at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele«, l3=0x3b}
0x1c81…1cbd Line {l1=0x3a, l2=»tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom«, l3=0x3a}
0x1cbd…1cf9 Line {l1=0x3a, l2=»opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har«, l3=0x3a}
0x1cf9…1d33 Line {l1=0x38, l2=»en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et«, l3=0x38}
0x1d33…1d45 Line {l1=0x10, l2=»største element.«, l3=0x10}
0x1d45…1d81 Line {l1=0x3a, l2=»Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,«, l3=0x3a}
0x1d81…1dbc Line {l1=0x39, l2=»at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har«, l3=0x39}
0x1dbc…1df7 Line {l1=0x39, l2=»et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De«, l3=0x39}
0x1df7…1e24 Line {l1=0x2b, l2=»hele tal er altså ikke en velordnet mængde.«, l3=0x2b}
0x1e24…1e60 Line {l1=0x3a, l2=»Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister«, l3=0x3a}
0x1e60…1e9b Line {l1=0x39, l2=»mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en«, l3=0x39}
0x1e9b…1ed8 Line {l1=0x3b, l2=»efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-«, l3=0x3b}
0x1ed8…1efe Line {l1=0x24, l2=»så bort fra og med de rationale tal.«, l3=0x24}
0x1efe…1f3c Line {l1=0x3c, l2=»Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,«, l3=0x3c}
0x1f3c…1f7a Line {l1=0x3c, l2=»at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-«, l3=0x3c}
0x1f7a…1fb8 Line {l1=0x3c, l2=»onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige«, l3=0x3c}
0x1fb8…1ff3 Line {l1=0x39, l2=»rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der«, l3=0x39}
0x1ff3…2031 Line {l1=0x3c, l2=»ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i«, l3=0x3c}
0x2031…206c Line {l1=0x39, l2=»forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være«, l3=0x39}
0x206c…20a7 Line {l1=0x39, l2=»tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem«, l3=0x39}
0x20a7…20d8 Line {l1=0x2f, l2=»intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q.«, l3=0x2f}
0x20d8…20e0 00 00 63 63 63 63 63 63 ┆ cccccc┆
0x20e0…2100 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 ┆cccccccccccccccccccccccccccccccc┆
[…0x9…]
▶19◀TALSYSTEMERNES OPBYGNING.▶19◀▶0e◀STRUKTURPAPIR.▶0e◀▶01◀ ▶01◀;Vi ønsker at udvide semi-gruppen bestående af de naturlige ;:tal med kompositionen +, (N,+), til den kommutative gruppe:8(Z,+), bestående af de hele tal med den til denne mængde8:tilpassede komposition +. En konsekvens af denne udvidelse:9er, at det bliver muligt at løse alle ligninger af formen9\f a + x = b.\f ▶01◀ ▶01◀<Vi ønsker samtidig at udvide kompositionen indenfor de na-<5turlige tal til kompositionen indenfor de hele tal.5▶01◀ ▶01◀*For at kunne løse alle ligninger af formen*▶0e◀ a x + b = c,▶0e◀:vil vi udvide den kommutative integritetsring bestående af::mængden af hele tal med kompositionerne + og (Z,+, ), hvor:<(Z 0 , ) altså ikke er en gruppe, til det kommutative legeme<;(Q,+, ) med kompositionerne + og indenfor de rationale tal.;▶01◀ ▶01◀<Dette legeme ønsker vi endelig at udvide til de reelle tals <:fuldstændige legeme, hvorved ikke alene ligninger af typen: x x = 2, <får løsninger, men hvor også visse følger af rationale tal, <3fundamentalfølger, der ikke konvergerer indenfor de39rationale tal, kan vises at konvergere mod en grænseværdi9!fra legemet, nemlig et reelt tal.!▶01◀ ▶01◀6Vi ønsker, at de tre udvidelser skal være "ens" i den 64forstand, at der dels eksisterer en delmængde af den45udvidede algebraiske struktur, der er isomorf med den55underliggende struktur, dels at alle elementer i den 52udvidede struktur kan dannes udfra elementer i den2<underliggende struktur. Endvidere gælder der om alle tre ud-<<videlser, at de er entydigt bestemt pånær isomorfi, altså at<9alle tænkelige udvidelser, der tilfredsstiller ovennævnte9▶18◀krav, vil være isomorfe.▶18◀▶01◀ ▶01◀:Den første udvidelse fra de naturlige til de hele tal sker:#gennem beviset af følgende sætning:#▶01◀ ▶01◀;Der findes en kommutativ gruppe (G,+), som har følgende eg-; enskaber: :1) Der findes en delmængde (N,+) af (G,+), der isomorf med: (N,+). .2) Ethvert element g i G kan skrives på formen.\f g = m - n\f : for et m og et n i N, idet - n betegner addition af det:( til + svarende inverse element til n.(<Gruppen (G,+) er entydigt bestemt pånær isomorfi på en sådan<;måde, at andre gennem 1) og 2) bestemte kommutative grupper;;er isomorfe med (G,+) sådan at også den tilsvarende "natur-;(ligtals delmængde" er isomorf med (N,+).(▶01◀ ▶01◀;Fidusen i beviset består i at definere G som mængden af æk-;9vivalensklasser i N N bestemt ved ækvivalensrelationen ,9▶0f◀defineret ved :▶0f◀: V (m ,n ), (m ,n ) N N: (m ,n ) (m ,n ) = m +n = m + .:1I mængden G defineres kompositionen + så således:1* V g ,g G: g +g = g +g = g*<Beviset for, at den således definerede gruppe (G,+) opfylder<7sætningen, er nu hovedsagelig af teknisk art, og vi vil7▶19◀fremover benævne G som Z.▶19◀▶01◀ ▶01◀1Ved at definere relationen > på de hele tal ved:1▶18◀ u > z = u - v N,▶18◀<vises det let, at > er en total ordningsrelation, og at re-<;lationen er en udvidelse af ordningsrelationen > på de na-;\f turlige tal.\f ▶01◀ ▶01◀4Idet to vilkårlige hele tal g og g kan skrives som4<g = m - n og g = m -n for m ,m ,n ,n naturlige tal, de-<▶12◀fineres i Z ved:▶12◀) g g = (m m + n n ) - (m n + m n ).); defineret således kan vises at udgøre en udvidelse af i;▶02◀N.▶02◀▶01◀ ▶01◀8Udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal kommer i8%stand ved at bevise følgende sætning:%▶01◀ ▶01◀;Der findes et kommutativt legeme (L,+, ) med følgende egen-;▶07◀skaber:▶07◀;1) Der findes en delmængde M af L, så at (M,+, ) er en kom-;: mutativ integritetsring indeholdende etelementet, og så:& at (Z,+, ) er isomorft med (M,+, ).&92) Ethvert element r L kan fremstilles på formen: r = uv9▶1c◀ for et u M og et V M 0 .▶1c◀93) (L,+, ) er i følgende forstand det mindste kommutative9; legeme, der har (Z,+, ) som delring: Hvis (L',+, ) er et;; kommutativt legeme, der har (Z,+, ) som delring (i samme;: betydning som 1)), findes et dellegeme af (L',+, ), som:▶1b◀ er isomorft med (L,+, ).▶1b◀:4) Hvis (L ,+, ) opfylder 1) og 2) er (L,+, ) isomorft med:\f (L ,+, ).\f ▶01◀ ▶01◀:I dette bevis er fidusen at definere L som kvotientmængden::P/ , idet P er mængden af talpar fra ZxZ, hvor andenkompo-:8nenten er forskellig fra 0, og ækvivalensrelationen er8▶0e◀defineret ved:▶0e◀. V (p,q),(s,t) P: (p,q) (s,t) = pt = qs..<Vi definerer nu + i L således, idet (u,v) og (s,t) er repræ-<▶1d◀sentanter for to mængder i L:▶1d◀▶1f◀ (u,v) + (s,t) = (ut + vs,vt)▶1f◀,På tilsvarende måde defineres i L således:,▶1b◀ (u,v) (s,t) = (us,vt).▶1b◀;Beviset for sætningen er herefter af teknisk art, omend ret;<omfattende, og vi vil herefter benævne L som Q. Den traditi-<;inelle opfattelse af et rationalt tal kan findes ved at op-;8fatte hhv. 1. og 2. komponent som hhv. tæller og nævner.8▶1b◀Relationen > defineret som▶1b◀< r > q = (r - q) Q 0 , vises let at være en total<:ordningsrelation, der harmonerer med + og og er en udvi-:\f delse af > .\f ▶01◀ ▶01◀<For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-<9elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har9<ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-<:onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i:%det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:%▶1d◀ a hvis a > 0▶1d◀( a = , a Q .(▶1d◀ -a hvis a < 0▶1d◀3Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:33Følgen (a ) fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis38 V Q n N V m,n N: m,n > n => a - a < .8:En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,:▶04◀hvis▶04◀9 a Q V Q n N V n N: n > n => a - a < .9;Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra;<Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a ) og<)(b ) er to vilkårlige fundamentalfølger:)▶1c◀ (a ) + (b ) = (a + b )▶1c◀▶16◀og tilsvarende for :▶16◀5 (a ) (b ) = (a b ) og c (a ) = (ca ) .59(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med9 etelement. ;Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation i F, der harmo-;▶1b◀nerer med + og , således:▶1b◀< (a ) (b ) <=> (a - b ) -> 0 for n-> (er en nul-<< følge)<;betragter vi mængden Q = F/ , og kan nu vise, at (Q ,+, );;er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og defi-;▶0e◀neres som i F.▶0e◀;Vi indfører nu en relation > således, idet vi betegner to;<vilkårlige elementer i Q med og repræsenteret af fun-<!damentalfølgerne (b ) og (a ) :!0 > <=> b - a -> 0 for n -> eller0< q Q n N V n N: n > n => b - a >q.<;Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-;8sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende8▶08◀sætning:▶08◀▶01◀ ▶01◀<1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-<▶15◀ morft med (Q,+, ).▶15◀92) Relationen > er en total ordningsrelation på Q , der92 udvider > og harmonerer med + og i (Q ,+, ).2▶17◀3) Q' er tæt i Q , dvs.▶17◀▶1e◀ V , Q Q': < <▶1e◀<4) (Q ,+, ,> ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,<3 at enhver fundamentalfølge fra Q er konvergent.3▶01◀ ▶01◀<Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke<;længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi;▶1e◀vil fremover benævne Q med R.▶1e◀▶01◀ ▶01◀<Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-<▶19◀skaber ved talsystemerne.▶19◀▶01◀ ▶01◀<En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.<;at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele;:tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom::opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har:8en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et8▶10◀største element.▶10◀:Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,:9at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har99et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De9+hele tal er altså ikke en velordnet mængde.+:Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister:9mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en9;efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-;$så bort fra og med de rationale tal.$<Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,<<at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-<<onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige<9rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der9<ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i<9forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være99tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem9/intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q./▶00◀▶00◀cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc