TALSYSTEMERNES OPBYGNING.STRUKTURPAPIR. Vi |nsker at udvide semi-gruppen best}ende af de naturlige tal med kompositionen +, (N,+), til den kommutative gruppe(Z,+), best}ende af de hele tal med den til denne m{ngdetilpassede komposition +. En konsekvens af denne udvidelseer, at det bliver muligt at l|se alle ligninger af formen  a + x = b. Vi |nsker samtidig at udvide kompositionen   indenfor de na-turlige tal til kompositionen   indenfor de hele tal. For at kunne l|se alle ligninger af formen  a x + b = c,vil vi udvide den kommutative integritetsring best}ende afm{ngden af hele tal med kompositionerne + og (Z,+, ), hvor(Z 0 , ) alts} ikke er en gruppe, til det kommutative legeme(Q,+, ) med kompositionerne + og indenfor de rationale tal. Dette legeme |nsker vi endelig at udvide til de reelle tals fuldst{ndige legeme, hvorved ikke alene ligninger af typen  x x = 2,f}r l|sninger, men hvor ogs} visse f|lger af rationale tal, fundamentalf|lger, der ikke konvergerer indenfor derationale tal, kan vises at konvergere mod en gr{nsev{rdifra legemet, nemlig et reelt tal. Vi |nsker, at de tre udvidelser skal v{re "ens" i den forstand, at der dels eksisterer en delm{ngde af denudvidede algebraiske struktur, der er isomorf med denunderliggende struktur, dels at alle elementer i den udvidede struktur kan dannes udfra elementer i denunderliggende struktur. Endvidere g{lder der om alle tre ud-videlser, at de er entydigt bestemt p}n{r isomorfi, alts} atalle t{nkelige udvidelser, der tilfredsstiller ovenn{vntekrav, vil v{re isomorfe. Den f|rste udvidelse fra de naturlige til de hele tal skergennem beviset af f|lgende s{tning: Der findes en kommutativ gruppe (G,+), som har f|lgende eg-enskaber:1) Der findes en delm{ngde (N,+) af (G,+), der isomorf med   (N,+).2) Ethvert element g i G kan skrives p} formen   g = m - n   for et m og et n i N, idet - n betegner addition af det   til + svarende inverse element til n.Gruppen (G,+) er entydigt bestemt p}n{r isomorfi p} en s}danm}de, at andre gennem 1) og 2) bestemte kommutative grupperer isomorfe med (G,+) s}dan at ogs} den tilsvarende "natur-ligtals delm{ngde" er isomorf med (N,+). Fidusen i beviset best}r i at definere G som m{ngden af {k-vivalensklasser i N N bestemt ved {kvivalensrelationen  ,defineret ved :  V (m ,n ), (m ,n ) N N: (m ,n ) (m ,n ) = m +n  = m +  .I m{ngden G defineres kompositionen + s} s}ledes:  V g ,g  G: g +g  = g       +g        = gBeviset for, at den s}ledes definerede gruppe (G,+) opfylders{tningen, er nu hovedsagelig af teknisk art, og vi vilfremover ben{vne G som Z. Ved at definere relationen >  p} de hele tal ved:   u >  z  =  u - v   N,vises det let, at >  er en total ordningsrelation, og at re-lationen er en udvidelse af ordningsrelationen >  p} de na-turlige tal. Idet to vilk}rlige hele tal g  og g  kan skrives somg  = m - n  og g  = m -n  for m ,m ,n ,n  naturlige tal, de-fineres   i Z ved:   g  g  = (m m  + n n ) - (m n  + m n ).  defineret s}ledes kan vises at udg|re en udvidelse af   iN. Udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal kommer istand ved at bevise f|lgende s{tning: Der findes et kommutativt legeme (L,+, ) med f|lgende egen-skaber:1) Der findes en delm{ngde M af L, s} at (M,+, ) er en kom-   mutativ integritetsring indeholdende etelementet, og s}   at (Z,+, ) er isomorft med (M,+, ).2) Ethvert element r L kan fremstilles p} formen:  r = uv   for et u M og et V M  0 .3) (L,+, ) er i f|lgende forstand det mindste kommutative   legeme, der har (Z,+, ) som delring: Hvis (L',+, ) er et   kommutativt legeme, der har (Z,+, ) som delring (i samme   betydning som 1)), findes et dellegeme af (L',+, ), som   er isomorft med (L,+, ).4) Hvis (L ,+, ) opfylder 1) og 2) er (L,+, ) isomorft med   (L ,+, ). I dette bevis er fidusen at definere L som kvotientm{ngdenP/ , idet P er m{ngden af talpar fra ZxZ, hvor andenkompo-nenten er forskellig fra 0, og {kvivalensrelationen   erdefineret ved:   V (p,q),(s,t)  P: (p,q)  (s,t)  =  pt = qs.Vi definerer nu + i L s}ledes, idet (u,v) og (s,t) er repr{-sentanter for to m{ngder i L:   (u,v) + (s,t) = (ut + vs,vt)P} tilsvarende m}de defineres   i L s}ledes:   (u,v)   (s,t) = (us,vt).Beviset for s{tningen er herefter af teknisk art, omend retomfattende, og vi vil herefter ben{vne L som Q. Den traditi-inelle opfattelse af et rationalt tal kan findes ved at op-fatte hhv. 1. og 2. komponent som hhv. t{ller og n{vner.Relationen >  defineret som  r >  q  =  (r - q)   Q     0  , vises let at v{re en totalordningsrelation, der harmonerer med + og   og er en udvi-delse af > . For at gennemf|re udvidelsen fra de rationale tal til de re-elle tal, f}r vi nu brug for den ordningsrelation, vi harf|rt med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-onale tal. Vi indf|rer nemlig nu begrebet numerisk v{rdi idet ordnede legeme (Q,+, ,>) s}ledes:               a   hvis a > 0    a  =                        , a  Q .              -a   hvis a < 0Vi kan nu definere en fundamentalf|lge i Q s}ledes:F|lgen (a )  fra Q kaldes en fundamentalf|lge, hvis   V   Q    n   N V m,n  N: m,n > n  =>   a  - a   <   .En s}dan f|lge siges at v{re konvergent med gr{nsepunkt a,hvis     a  Q V   Q    n   N V n  N: n > n   =>  a  - a  <  .Idet vi nu lader F betegne m{ngden af fundamentalf|lger fraQ, kan vi indf|re kompositionen + i F s}ledes, idet (a )  og(b )  er to vilk}rlige fundamentalf|lger:   (a )  + (b )  = (a  + b )og tilsvarende for   :   (a )    (b )  = (a    b )  og  c (a )   = (ca )  .(F,+, ) kan herefter vises at v{re en kommutativ ring medetelement.Idet vi nu indf|rer en {kvivalensrelation   i F, der harmo-nerer med + og   , s}ledes:   (a )    (b )  <=> (a  - b )  -> 0 for n->     (er en nul-                                                      f|lge)betragter vi m{ngden Q  = F/  , og kan nu vise, at (Q ,+, )er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og   defi-neres som i F.Vi indf|rer nu en relation >   s}ledes, idet vi betegner tovilk}rlige elementer i Q  med    og    repr{senteret af fun-damentalf|lgerne (b )  og (a )  :      >      <=>  b  - a  -> 0 for n ->    eller                   q Q   n   N V n  N: n > n  => b  - a  >q.Med (Q ,+, ) indf|rt som her skitseret, formuleres udvidel-sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i f|lgendes{tning: 1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-   morft med (Q,+, ).2) Relationen >   er en total ordningsrelation p} Q , der   udvider >  og harmonerer med + og   i (Q ,+, ).3) Q' er t{t i Q , dvs.      V  ,   Q      Q':   <  <4) (Q ,+, ,>  ) er et fuldst{ndigt legeme, hvilket vil sige,   at enhver fundamentalf|lge fra Q  er konvergent. Med de inden s{tningen indf|rte definitioner er beviset ikkel{ngere direkte fidus-pr{get, men meget arbejdskr{vende. Vivil fremover ben{vne Q  med R. Nogle konsekvenser af de successivt |gede strukturelle egen-skaber ved talsystemerne. En markant forskel p} de hele tal og de reelle tal er f.eks.at mens enhver ikke-tom opad begr{nset delm{ngde af de heletal har et st|rste element, kan man kun om enhver ikke-tomopad begr{nset delm{ngde af de reelle tal sige, at den haren |vre gr{nse. Man kan alts} ikke n|dvendigvis finde etst|rste element.Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,at mens enhver ikke-tom delm{ngde af de naturlige tal haret mindste element, g{lder dette ikke for de hele tal. Dehele tal er alts} ikke en velordnet m{ngde.Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal misterm{ngden den egenskab, at ethvert element i m{ngden har enefterf|lger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-s} bort fra og med de rationale tal.Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,at der mellem to vilk}rlige reelle tal altid findes et rati-onalt tal, men samtidig findes der ogs} mellem to vilk}rligerationale tal et irrationalt tal, alts} et reelt tal, derikke er rationalt. Endvidere mangler m{ngden af reelle tal iforhold til m{ngden af rationale tal den egenskab at v{ret{llelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellemintervaller af R og Q, endsige delm{ngder af Q.