|
DataMuseum.dkPresents historical artifacts from the history of: MIKADOS |
This is an automatic "excavation" of a thematic subset of
See our Wiki for more about MIKADOS Excavated with: AutoArchaeologist - Free & Open Source Software. |
top - download
Length: 9984 (0x2700)
Types: TextFile
Notes: Mikados_K
Names: »CAD.K«
└─⟦98735d749⟧ Bits:30007443 8" floppy ( TEXT ) vedr. matematik i skibsindustrien
└─⟦this⟧ »CAD.K«
%________________________
Computer-aided shipdesign.
Omfattende:
- fitning af polynomier til flader.
- repræsentation af overflader.
- interpolation.
De problemer man søger at løse, når et nyt skrog skal designes, er primært
de to nedenstående:
1) At skabe et skrog med en jævn/glat overflade (fairing).
2) At skabe et "produktionsnemt" skrog.
Pkt. 1) tilstræbes især af brændstoføkonomiske hensyn, idet man ønsker at
lave skibe med en såkaldt god "modstands-karakteristik" i bølger. Men formå-
let er mangesidigt, da det både går på størst mulig fart, mindst mulig motor,
der kan opfylde fartkravene, størst mulig lasteevne, mindst mulig pris og
som tidligere nævnt mindst muligt brændstofforbrug.
M.h.t. pkt. 2) er formålet hovedsageligt at designe et skib, der er så meget
lige op og ned (regelret), som overhovedet muligt. Det betyder bl.a., at man
@
forsøger at undgå, at der skal anvendes dobbelt-bukkede stålplader eller an-
dre lignende tidskrævende konstruktionselementer.
I et forsøg på at lette løsningen af disse problemer har man gennem mere end
50 år (Admiral Taylor udviklede allerede i 1915 nogle nu berømte "standard-
serier" for skibsmodeller, som var defineret på et matematisk grundlag) søgt
at definere skibsoverflader matematisk. Om årsagen hertil siger KUO i (17),
s. 1:"The prime reason for this interest lies in the possibility that effi-
cient methods may be developed through the use of mathematical expressions to
generate a smooth and aesthetically acceptable hull surface which would ful-
fill the design requirements and provide data suitable for performing the
theoretical calculations as well as for ship construction purposes based on
a minimum quantity of input information regarding the principal dimensions
and some of the associated design parameters.".
Det er kort fortalt de væsentligste årsager, men det bør nok suppleres med,
at de effektive metoder, som kan udvikles, er effektive, fordi de har en
form, som gør dem yderst anvendelige i forbindelse med brug af datamaskiner.
Det betyder, at den tidligere så langvarige proces (ofte 2-3 uger eller mere,
hvor alt andet arbejde på skibet måtte ligge stille) med manuelt at lave et
pænt glat skrog, nu er en saga blot. Desuden har den matematiske definering
af skroget store fordele i det efterfølgende arbejde, såvel i planlægningen
som i selve produktionen.
De anvendte metoder.
Ved udviklingen af et skibs linier anvender man i princippet en af de i det
følgende omtalte tre metoder a, b og c:
a.
Anvendelse af såkaldte standard serier, der er velkendte skibsformer, som
allerede foreligger på en matematisk defineret form. En form, hvor netop
disse standard serier er det bærende fundament. Princippet går ud på, at man
"interpolerer" sig til en ønsket ny skrog-form, udfra det udvalg af tilgænge-
lige designs, som erfaringen har vist at have gode egenskaber. Standard se-
rierne kan bestå af forskellige typer data (de kan foreligge på lidt for-
skellig form), men i princippet drejer det sig om et ret omfattende sæt af
koordinater i et 3-dim. rum, med bl.a. polynomier som beskrivelsesværktøj.
b.
Ud-/videre-bygning på et eksisterende design ("lines distortion approach").
I mange situationer ønsker man, ved ofte mindre ændringer, i nogle af form-
parametrene på et eksisterende "moder"-skib (det kan typisk dreje sig om at
ændre nogle koefficienter i polynomier, der beskriver det eksisterende skibs
form), at nå frem til et nyt skibs linier. I store træk går metoden ud på,
at man foretager en moderat ekstrapolation udfra "moderskibet", ved hjælp af
nogle passende matematiske operationer. I praksis foregår det, p.g.a. de
komplicerede/komplekse indbyrdes afhængigheder, ved at lade nogle få parame-
tre variere enkeltvis, holde få fast og så akseptere de deraf følgende æn-
@
dringer i mange andre. Derfor opdeler man denne ekstrapolation i trin og mo-
dificerer et sæt skrogformsegenskaber ad gangen og senere må man søge at
kompensere for uønskede sideeffekter fra ændringer i senere trin.
c.
Direkte generering af skibsoverflader udfra fastlagte (geometriske) skrog-
form-parametre.
I modsætning til de to førnævnte metoder - a og b - kræver denne ikke et
"moderskibsdesign". Skibets linier skabes matematisk, udelukkende på grund-
lag af fastlagte parametre, som definerer nogle væsentlige/essentielle kur-
ver i skrogformen og nogle andre betingelser. Det kan være kurver, der be-
skriver (dele af) agterstavn eller stævn og/eller betingelser, som at skibet
skal have konstant volumen, længde, bredde, opdriftspunkt o.l.
I de fleste tilfælde fungerer systemet, som en iterativ proces, hvor skibs-
designeren vha. nogle parametre, får fastlagt de enkelte sektioners grund-
læggende linier, men det fører ofte til, at nogle af parametrene må ændres,
da sammensætningen af de enkelte sektioner ledte til modsigelser eller nogle
uønskede former. Ifølge litteraturen - KUO (16) og (17) samt SCAHD 77 (35) -
lader det til at metoden hurtigt konvergerer for en erfaren designer.
Sammenfattende kan man om metoderne a, b og c sige, at a og b i høj grad er
udelukket på forhånd i mange situationer, nemlig i de situationer hvor man
ikke har et eller et sæt af forældreskibe til rådighed. Dette er oplagt et
problem indenfor tankskibsproduktionen, hvor skibene bliver større og større.
Men hvis der findes forældredesigns, har det vist sig, forudsat at man hol-
der sig til moderate ændringer, at a og b virkelig giver muligheder for at
høste udbytte af de erfaringer, som man har haft med "moderskibene". Metode
c har sin berettigelse, men da det er en ret ny metode, kræver den som mini-
mum, at det er erfarne designere, der anvender den.
%____________________________________
Bærende matematiske problemstillinger.
Ved bestemmelse af de matematiske kurver, som opfylder de ønskede krav om
form, søger man naturligvis at vælge funktioner, som så let som muligt lader
sig vælge, så de kan opfylde nogle form-parametre. Til dette formål har man
ofte valgt polynomier. Således brugte Taylor, D. W. (1915) til sine standard
serier 5te-grads polynomier til beskrivelse af forløbet af SAC og DWL (Sec-
tional Area Curve (tværsnit) og Design Waterline (længdesnit)). Siden Taylor
har man indtil for få år siden holdt sig til polynomier i forskellige sam-
menhænge og afskygninger. F.eks. har man ofte opløst polynomier i en sum af
lineært uafhængige polynomier, som hver tager sig af en formparameter. Men
i øvrigt kan man i flæng nævne nogle metoder:
@
- mindste kvadraters metode i forbindelse med brug af ortogonale Legendre
polynomier.
- ordinære og ortogonale polynomier repræsenterer overfladeligninger.
- skibsoverflader opdeles i små under-overflader, som bliver approksimeret
vha. lavere ordens ligninger.
- ortogonale polynomier og keglesnit bruges til at repræsentere forskellige
dele af skibsoverfladen og til at sikre at "samlingerne" bliver glatte.
P.g.a. at der er problemer med at få højere ordens polynomier til at udvise
passende opførsel - de oscillerer lettere ved halvdårlige formparametervalg
og det er ikke muligt (uden særlige forholdsregler), at få første afledte til
at blive 0 i (0,0) eller uendelig for endelige x (se f.eks. Forsythe s.69,
afsnit 4.3, Runge's funktion).(11).
Derfor er man i de senere år gået over til at anvende "spline"-funktioner,
specielt såkaldte B-splines, som har flg. egenskaber fremfor de tidligere
mere anvendte almindelige polynomier:
1) Det er muligt at beskrive alle linier i skroget, som en kontinuert kurve,
hvis afledte også kan være kontinuerte op til en ønsket grad. Men herudover
er det ganske simpelt at muliggøre forskellige diskontinuiteter, som f.eks.
hjørner og knæk.
2) Det er muligt at tillade lokal kontrol med en hvilken som helst del af en
linie, uden at det medfører følgevirkninger i andre del-linier.
3) Det er muligt at specificere mange geometriske konstanter (faste punkter)
også uden at lægge bånd på hvilke værdier de må antage.
Men hvad er splines egentlig for noget?
Herom siger KUO i (16):"The spline tecknigue is an attempt to reproduce the
numerical analogue of the draftman's fairing proces via the use of a bat-
ten".
Matematisk set er splines sammensatte polynomier, typisk af 3.-grad, som
f.eks. aix3 + bix2 + cix + di, hvor koefficienterne (ai, bi, ci og di) er
koefficienterne for "det approksimerende polynomium" i et typisk interval
'i' mellem den i'te og i+1'te knude, hvor en knude er en af de givne koordi-
nater. Det viser sig (ifølge teorien for bjælker (35) s.11 og (11) s.70), at
denne type sammensatte polynomier sammensættes kontinuert med kontinuerte
1. og 2. afledede*.
Pointen ved anvendelsen af splines er, at de ligesom brædtet antager en form,
så den potentielle energi bliver mindst mulig. Og ifølge elementær bjælke-
teori er den potentielle energi mindst mulig, når nedenstående integrale an-
tager sin mindste værdi:
EI
@
hvor EI er bøjningsstivheden og d2y/dx2 repræsenterer kurvens/bjælkens for-
løb (krumning) for små værdier af y; L er den totale længde af spline/bjælke;
x uafh. og y afh. variabel.
Filosofien er altså, at den glatteste/pæneste kurve gennem et sæt af punkter
kan repræsenteres (og fås) som en tynd fleksibel bjælke/liste, som det kræ-
ver den mindst mulige energi, at holde i position.
Selve bestemmelsen af koefficienterne er en omfattende, regneteknisk triviel
og numerisk stabil proces, som vi ikke vil komme nærmere ind på her (se f.
eks. Forsythe et. al. (11) s.71-76).
* Hjørner, knæk og andre diskontinuiteter opnås ved at gentage/dublere
det punkt (knude), hvor diskontinuiteten skal forekomme.
0x0000…001b Line {l1=0x19, l2=»%________________________«, l3=0x19}
0x001b…0037 Line {l1=0x1a, l2=»Computer-aided shipdesign.«, l3=0x1a}
0x0037…003a Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x003a…0047 Line {l1=0x0b, l2=»Omfattende:«, l3=0x0b}
0x0047…004a Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x004a…006f Line {l1=0x23, l2=»- fitning af polynomier til flader.«, l3=0x23}
0x006f…0090 Line {l1=0x1f, l2=»- repræsentation af overflader.«, l3=0x1f}
0x0090…00a2 Line {l1=0x10, l2=»- interpolation.«, l3=0x10}
0x00a2…00a5 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x00a5…00f1 Line {l1=0x4a, l2=»De problemer man søger at løse, når et nyt skrog skal designes, er primært«, l3=0x4a}
0x00f1…0106 Line {l1=0x13, l2=»de to nedenstående:«, l3=0x13}
0x0106…0109 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0109…0145 Line {l1=0x3a, l2=»1) At skabe et skrog med en jævn/glat overflade (fairing).«, l3=0x3a}
0x0145…0148 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0148…0171 Line {l1=0x27, l2=»2) At skabe et "produktionsnemt" skrog.«, l3=0x27}
0x0171…0174 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0174…01bf Line {l1=0x49, l2=»Pkt. 1) tilstræbes især af brændstoføkonomiske hensyn, idet man ønsker at«, l3=0x49}
0x01bf…020d Line {l1=0x4c, l2=»lave skibe med en såkaldt god "modstands-karakteristik" i bølger. Men formå-«, l3=0x4c}
0x020d…025c Line {l1=0x4d, l2=»let er mangesidigt, da det både går på størst mulig fart, mindst mulig motor,«, l3=0x4d}
0x025c…02a7 Line {l1=0x49, l2=»der kan opfylde fartkravene, størst mulig lasteevne, mindst mulig pris og«, l3=0x49}
0x02a7…02dc Line {l1=0x33, l2=»som tidligere nævnt mindst muligt brændstofforbrug.«, l3=0x33}
0x02dc…032a Line {l1=0x4c, l2=»M.h.t. pkt. 2) er formålet hovedsageligt at designe et skib, der er så meget«, l3=0x4c}
0x032a…0378 Line {l1=0x4c, l2=»lige op og ned (regelret), som overhovedet muligt. Det betyder bl.a., at man«, l3=0x4c}
0x0378…037b Line {l1=0x01, l2=»@«, l3=0x01}
0x037b…03c9 Line {l1=0x4c, l2=»forsøger at undgå, at der skal anvendes dobbelt-bukkede stålplader eller an-«, l3=0x4c}
0x03c9…03fc Line {l1=0x31, l2=»dre lignende tidskrævende konstruktionselementer.«, l3=0x31}
0x03fc…044a Line {l1=0x4c, l2=»I et forsøg på at lette løsningen af disse problemer har man gennem mere end«, l3=0x4c}
0x044a…0497 Line {l1=0x4b, l2=»50 år (Admiral Taylor udviklede allerede i 1915 nogle nu berømte "standard-«, l3=0x4b}
0x0497…04e5 Line {l1=0x4c, l2=»serier" for skibsmodeller, som var defineret på et matematisk grundlag) søgt«, l3=0x4c}
0x04e5…0532 Line {l1=0x4b, l2=»at definere skibsoverflader matematisk. Om årsagen hertil siger KUO i (17),«, l3=0x4b}
0x0532…057f Line {l1=0x4b, l2=»s. 1:"The prime reason for this interest lies in the possibility that effi-«, l3=0x4b}
0x057f…05ce Line {l1=0x4d, l2=»cient methods may be developed through the use of mathematical expressions to«, l3=0x4d}
0x05ce…061c Line {l1=0x4c, l2=»generate a smooth and aesthetically acceptable hull surface which would ful-«, l3=0x4c}
0x061c…0667 Line {l1=0x49, l2=»fill the design requirements and provide data suitable for performing the«, l3=0x49}
0x0667…06b4 Line {l1=0x4b, l2=»theoretical calculations as well as for ship construction purposes based on«, l3=0x4b}
0x06b4…0700 Line {l1=0x4a, l2=»a minimum quantity of input information regarding the principal dimensions«, l3=0x4a}
0x0700…0731 Line {l1=0x2f, l2=»and some of the associated design parameters.".«, l3=0x2f}
0x0731…077e Line {l1=0x4b, l2=»Det er kort fortalt de væsentligste årsager, men det bør nok suppleres med,«, l3=0x4b}
0x077e…07c8 Line {l1=0x48, l2=»at de effektive metoder, som kan udvikles, er effektive, fordi de har en«, l3=0x48}
0x07c8…0816 Line {l1=0x4c, l2=»form, som gør dem yderst anvendelige i forbindelse med brug af datamaskiner.«, l3=0x4c}
0x0816…0865 Line {l1=0x4d, l2=»Det betyder, at den tidligere så langvarige proces (ofte 2-3 uger eller mere,«, l3=0x4d}
0x0865…08b2 Line {l1=0x4b, l2=»hvor alt andet arbejde på skibet måtte ligge stille) med manuelt at lave et«, l3=0x4b}
0x08b2…08ff Line {l1=0x4b, l2=»pænt glat skrog, nu er en saga blot. Desuden har den matematiske definering«, l3=0x4b}
0x08ff…094c Line {l1=0x4b, l2=»af skroget store fordele i det efterfølgende arbejde, såvel i planlægningen«, l3=0x4b}
0x094c…0967 Line {l1=0x19, l2=»som i selve produktionen.«, l3=0x19}
0x0967…096a Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x096a…0980 Line {l1=0x14, l2=»De anvendte metoder.«, l3=0x14}
0x0980…0983 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x0983…09d0 Line {l1=0x4b, l2=»Ved udviklingen af et skibs linier anvender man i princippet en af de i det«, l3=0x4b}
0x09d0…09f9 Line {l1=0x27, l2=»følgende omtalte tre metoder a, b og c:«, l3=0x27}
0x09f9…09fd Line {l1=0x02, l2=»a.«, l3=0x02}
0x09fd…0a48 Line {l1=0x49, l2=»Anvendelse af såkaldte standard serier, der er velkendte skibsformer, som«, l3=0x49}
0x0a48…0a92 Line {l1=0x48, l2=»allerede foreligger på en matematisk defineret form. En form, hvor netop«, l3=0x48}
0x0a92…0ae0 Line {l1=0x4c, l2=»disse standard serier er det bærende fundament. Princippet går ud på, at man«, l3=0x4c}
0x0ae0…0b2f Line {l1=0x4d, l2=»"interpolerer" sig til en ønsket ny skrog-form, udfra det udvalg af tilgænge-«, l3=0x4d}
0x0b2f…0b7c Line {l1=0x4b, l2=»lige designs, som erfaringen har vist at have gode egenskaber. Standard se-«, l3=0x4b}
0x0b7c…0bc7 Line {l1=0x49, l2=»rierne kan bestå af forskellige typer data (de kan foreligge på lidt for-«, l3=0x49}
0x0bc7…0c13 Line {l1=0x4a, l2=»skellig form), men i princippet drejer det sig om et ret omfattende sæt af«, l3=0x4a}
0x0c13…0c5f Line {l1=0x4a, l2=»koordinater i et 3-dim. rum, med bl.a. polynomier som beskrivelsesværktøj.«, l3=0x4a}
0x0c5f…0c63 Line {l1=0x02, l2=»b.«, l3=0x02}
0x0c63…0cb0 Line {l1=0x4b, l2=»Ud-/videre-bygning på et eksisterende design ("lines distortion approach").«, l3=0x4b}
0x0cb0…0cfd Line {l1=0x4b, l2=»I mange situationer ønsker man, ved ofte mindre ændringer, i nogle af form-«, l3=0x4b}
0x0cfd…0d4a Line {l1=0x4b, l2=»parametrene på et eksisterende "moder"-skib (det kan typisk dreje sig om at«, l3=0x4b}
0x0d4a…0d98 Line {l1=0x4c, l2=»ændre nogle koefficienter i polynomier, der beskriver det eksisterende skibs«, l3=0x4c}
0x0d98…0de4 Line {l1=0x4a, l2=»form), at nå frem til et nyt skibs linier. I store træk går metoden ud på,«, l3=0x4a}
0x0de4…0e32 Line {l1=0x4c, l2=»at man foretager en moderat ekstrapolation udfra "moderskibet", ved hjælp af«, l3=0x4c}
0x0e32…0e7c Line {l1=0x48, l2=»nogle passende matematiske operationer. I praksis foregår det, p.g.a. de«, l3=0x48}
0x0e7c…0eca Line {l1=0x4c, l2=»komplicerede/komplekse indbyrdes afhængigheder, ved at lade nogle få parame-«, l3=0x4c}
0x0eca…0f16 Line {l1=0x4a, l2=»tre variere enkeltvis, holde få fast og så akseptere de deraf følgende æn-«, l3=0x4a}
0x0f16…0f19 Line {l1=0x01, l2=»@«, l3=0x01}
0x0f19…0f67 Line {l1=0x4c, l2=»dringer i mange andre. Derfor opdeler man denne ekstrapolation i trin og mo-«, l3=0x4c}
0x0f67…0fb1 Line {l1=0x48, l2=»dificerer et sæt skrogformsegenskaber ad gangen og senere må man søge at«, l3=0x48}
0x0fb1…0ff4 Line {l1=0x41, l2=»kompensere for uønskede sideeffekter fra ændringer i senere trin.«, l3=0x41}
0x0ff4…0ff8 Line {l1=0x02, l2=»c.«, l3=0x02}
0x0ff8…1044 Line {l1=0x4a, l2=»Direkte generering af skibsoverflader udfra fastlagte (geometriske) skrog-«, l3=0x4a}
0x1044…1055 Line {l1=0x0f, l2=»form-parametre.«, l3=0x0f}
0x1055…109f Line {l1=0x48, l2=»I modsætning til de to førnævnte metoder - a og b - kræver denne ikke et«, l3=0x48}
0x109f…10ec Line {l1=0x4b, l2=»"moderskibsdesign". Skibets linier skabes matematisk, udelukkende på grund-«, l3=0x4b}
0x10ec…1139 Line {l1=0x4b, l2=»lag af fastlagte parametre, som definerer nogle væsentlige/essentielle kur-«, l3=0x4b}
0x1139…1185 Line {l1=0x4a, l2=»ver i skrogformen og nogle andre betingelser. Det kan være kurver, der be-«, l3=0x4a}
0x1185…11d3 Line {l1=0x4c, l2=»skriver (dele af) agterstavn eller stævn og/eller betingelser, som at skibet«, l3=0x4c}
0x11d3…1213 Line {l1=0x3e, l2=»skal have konstant volumen, længde, bredde, opdriftspunkt o.l.«, l3=0x3e}
0x1213…1260 Line {l1=0x4b, l2=»I de fleste tilfælde fungerer systemet, som en iterativ proces, hvor skibs-«, l3=0x4b}
0x1260…12ac Line {l1=0x4a, l2=»designeren vha. nogle parametre, får fastlagt de enkelte sektioners grund-«, l3=0x4a}
0x12ac…12f9 Line {l1=0x4b, l2=»læggende linier, men det fører ofte til, at nogle af parametrene må ændres,«, l3=0x4b}
0x12f9…1347 Line {l1=0x4c, l2=»da sammensætningen af de enkelte sektioner ledte til modsigelser eller nogle«, l3=0x4c}
0x1347…1395 Line {l1=0x4c, l2=»uønskede former. Ifølge litteraturen - KUO (16) og (17) samt SCAHD 77 (35) -«, l3=0x4c}
0x1395…13dc Line {l1=0x45, l2=»lader det til at metoden hurtigt konvergerer for en erfaren designer.«, l3=0x45}
0x13dc…13df Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x13df…142c Line {l1=0x4b, l2=»Sammenfattende kan man om metoderne a, b og c sige, at a og b i høj grad er«, l3=0x4b}
0x142c…1478 Line {l1=0x4a, l2=»udelukket på forhånd i mange situationer, nemlig i de situationer hvor man«, l3=0x4a}
0x1478…14c4 Line {l1=0x4a, l2=»ikke har et eller et sæt af forældreskibe til rådighed. Dette er oplagt et«, l3=0x4a}
0x14c4…1513 Line {l1=0x4d, l2=»problem indenfor tankskibsproduktionen, hvor skibene bliver større og større.«, l3=0x4d}
0x1513…1560 Line {l1=0x4b, l2=»Men hvis der findes forældredesigns, har det vist sig, forudsat at man hol-«, l3=0x4b}
0x1560…15ac Line {l1=0x4a, l2=»der sig til moderate ændringer, at a og b virkelig giver muligheder for at«, l3=0x4a}
0x15ac…15f9 Line {l1=0x4b, l2=»høste udbytte af de erfaringer, som man har haft med "moderskibene". Metode«, l3=0x4b}
0x15f9…1647 Line {l1=0x4c, l2=»c har sin berettigelse, men da det er en ret ny metode, kræver den som mini-«, l3=0x4c}
0x1647…167c Line {l1=0x33, l2=»mum, at det er erfarne designere, der anvender den.«, l3=0x33}
0x167c…167f Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
[…0x1…]
0x1682…16a9 Line {l1=0x25, l2=»%____________________________________«, l3=0x25}
0x16a9…16d1 Line {l1=0x26, l2=»Bærende matematiske problemstillinger.«, l3=0x26}
0x16d1…16d4 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x16d4…171f Line {l1=0x49, l2=»Ved bestemmelse af de matematiske kurver, som opfylder de ønskede krav om«, l3=0x49}
0x171f…176d Line {l1=0x4c, l2=»form, søger man naturligvis at vælge funktioner, som så let som muligt lader«, l3=0x4c}
0x176d…17ba Line {l1=0x4b, l2=»sig vælge, så de kan opfylde nogle form-parametre. Til dette formål har man«, l3=0x4b}
0x17ba…1808 Line {l1=0x4c, l2=»ofte valgt polynomier. Således brugte Taylor, D. W. (1915) til sine standard«, l3=0x4c}
0x1808…1855 Line {l1=0x4b, l2=»serier 5te-grads polynomier til beskrivelse af forløbet af SAC og DWL (Sec-«, l3=0x4b}
0x1855…18a3 Line {l1=0x4c, l2=»tional Area Curve (tværsnit) og Design Waterline (længdesnit)). Siden Taylor«, l3=0x4c}
0x18a3…18ef Line {l1=0x4a, l2=»har man indtil for få år siden holdt sig til polynomier i forskellige sam-«, l3=0x4a}
0x18ef…193c Line {l1=0x4b, l2=»menhænge og afskygninger. F.eks. har man ofte opløst polynomier i en sum af«, l3=0x4b}
0x193c…1988 Line {l1=0x4a, l2=»lineært uafhængige polynomier, som hver tager sig af en formparameter. Men«, l3=0x4a}
0x1988…19b7 Line {l1=0x2d, l2=»i øvrigt kan man i flæng nævne nogle metoder:«, l3=0x2d}
0x19b7…19ba Line {l1=0x01, l2=»@«, l3=0x01}
0x19ba…1a05 Line {l1=0x49, l2=»- mindste kvadraters metode i forbindelse med brug af ortogonale Legendre«, l3=0x49}
0x1a05…1a14 Line {l1=0x0d, l2=» polynomier.«, l3=0x0d}
0x1a14…1a5b Line {l1=0x45, l2=»- ordinære og ortogonale polynomier repræsenterer overfladeligninger.«, l3=0x45}
0x1a5b…1aa7 Line {l1=0x4a, l2=»- skibsoverflader opdeles i små under-overflader, som bliver approksimeret«, l3=0x4a}
0x1aa7…1ac8 Line {l1=0x1f, l2=» vha. lavere ordens ligninger.«, l3=0x1f}
0x1ac8…1b15 Line {l1=0x4b, l2=»- ortogonale polynomier og keglesnit bruges til at repræsentere forskellige«, l3=0x4b}
0x1b15…1b60 Line {l1=0x49, l2=» dele af skibsoverfladen og til at sikre at "samlingerne" bliver glatte.«, l3=0x49}
0x1b60…1b63 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1b63…1bb0 Line {l1=0x4b, l2=»P.g.a. at der er problemer med at få højere ordens polynomier til at udvise«, l3=0x4b}
0x1bb0…1bfd Line {l1=0x4b, l2=»passende opførsel - de oscillerer lettere ved halvdårlige formparametervalg«, l3=0x4b}
0x1bfd…1c4c Line {l1=0x4d, l2=»og det er ikke muligt (uden særlige forholdsregler), at få første afledte til«, l3=0x4d}
0x1c4c…1c98 Line {l1=0x4a, l2=»at blive 0 i (0,0) eller uendelig for endelige x (se f.eks. Forsythe s.69,«, l3=0x4a}
0x1c98…1cbd Line {l1=0x23, l2=»afsnit 4.3, Runge's funktion).(11).«, l3=0x23}
0x1cbd…1d09 Line {l1=0x4a, l2=»Derfor er man i de senere år gået over til at anvende "spline"-funktioner,«, l3=0x4a}
0x1d09…1d54 Line {l1=0x49, l2=»specielt såkaldte B-splines, som har flg. egenskaber fremfor de tidligere«, l3=0x49}
0x1d54…1d7b Line {l1=0x25, l2=»mere anvendte almindelige polynomier:«, l3=0x25}
0x1d7b…1d7e Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1d7e…1dcc Line {l1=0x4c, l2=»1) Det er muligt at beskrive alle linier i skroget, som en kontinuert kurve,«, l3=0x4c}
0x1dcc…1e19 Line {l1=0x4b, l2=»hvis afledte også kan være kontinuerte op til en ønsket grad. Men herudover«, l3=0x4b}
0x1e19…1e66 Line {l1=0x4b, l2=»er det ganske simpelt at muliggøre forskellige diskontinuiteter, som f.eks.«, l3=0x4b}
0x1e66…1e78 Line {l1=0x10, l2=»hjørner og knæk.«, l3=0x10}
0x1e78…1e7b Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1e7b…1ec9 Line {l1=0x4c, l2=»2) Det er muligt at tillade lokal kontrol med en hvilken som helst del af en«, l3=0x4c}
0x1ec9…1f0a Line {l1=0x3f, l2=»linie, uden at det medfører følgevirkninger i andre del-linier.«, l3=0x3f}
0x1f0a…1f0d Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1f0d…1f5b Line {l1=0x4c, l2=»3) Det er muligt at specificere mange geometriske konstanter (faste punkter)«, l3=0x4c}
0x1f5b…1f94 Line {l1=0x37, l2=»også uden at lægge bånd på hvilke værdier de må antage.«, l3=0x37}
0x1f94…1f97 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x1f97…1fc0 Line {l1=0x27, l2=»Men hvad er splines egentlig for noget?«, l3=0x27}
0x1fc0…200d Line {l1=0x4b, l2=»Herom siger KUO i (16):"The spline tecknigue is an attempt to reproduce the«, l3=0x4b}
0x200d…2058 Line {l1=0x49, l2=»numerical analogue of the draftman's fairing proces via the use of a bat-«, l3=0x49}
0x2058…205f Line {l1=0x05, l2=»ten".«, l3=0x05}
0x205f…20a9 Line {l1=0x48, l2=»Matematisk set er splines sammensatte polynomier, typisk af 3.-grad, som«, l3=0x48}
0x20a9…20f4 Line {l1=0x49, l2=»f.eks. aix3 + bix2 + cix + di, hvor koefficienterne (ai, bi, ci og di) er«, l3=0x49}
0x20f4…213f Line {l1=0x49, l2=»koefficienterne for "det approksimerende polynomium" i et typisk interval«, l3=0x49}
0x213f…218d Line {l1=0x4c, l2=»'i' mellem den i'te og i+1'te knude, hvor en knude er en af de givne koordi-«, l3=0x4c}
0x218d…21db Line {l1=0x4c, l2=»nater. Det viser sig (ifølge teorien for bjælker (35) s.11 og (11) s.70), at«, l3=0x4c}
0x21db…2226 Line {l1=0x49, l2=»denne type sammensatte polynomier sammensættes kontinuert med kontinuerte«, l3=0x49}
0x2226…223b Line {l1=0x13, l2=»1. og 2. afledede*.«, l3=0x13}
0x223b…228a Line {l1=0x4d, l2=»Pointen ved anvendelsen af splines er, at de ligesom brædtet antager en form,«, l3=0x4d}
0x228a…22d6 Line {l1=0x4a, l2=»så den potentielle energi bliver mindst mulig. Og ifølge elementær bjælke-«, l3=0x4a}
0x22d6…2324 Line {l1=0x4c, l2=»teori er den potentielle energi mindst mulig, når nedenstående integrale an-«, l3=0x4c}
0x2324…233e Line {l1=0x18, l2=»tager sin mindste værdi:«, l3=0x18}
0x233e…2341 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
[…0x1…]
0x2344…2361 Line {l1=0x1b, l2=» EI«, l3=0x1b}
0x2361…2364 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
[…0x1…]
0x2367…236a Line {l1=0x01, l2=»@«, l3=0x01}
0x236a…23b7 Line {l1=0x4b, l2=»hvor EI er bøjningsstivheden og d2y/dx2 repræsenterer kurvens/bjælkens for-«, l3=0x4b}
0x23b7…2406 Line {l1=0x4d, l2=»løb (krumning) for små værdier af y; L er den totale længde af spline/bjælke;«, l3=0x4d}
0x2406…2423 Line {l1=0x1b, l2=»x uafh. og y afh. variabel.«, l3=0x1b}
0x2423…2471 Line {l1=0x4c, l2=»Filosofien er altså, at den glatteste/pæneste kurve gennem et sæt af punkter«, l3=0x4c}
0x2471…24be Line {l1=0x4b, l2=»kan repræsenteres (og fås) som en tynd fleksibel bjælke/liste, som det kræ-«, l3=0x4b}
0x24be…24f2 Line {l1=0x32, l2=»ver den mindst mulige energi, at holde i position.«, l3=0x32}
0x24f2…2540 Line {l1=0x4c, l2=»Selve bestemmelsen af koefficienterne er en omfattende, regneteknisk triviel«, l3=0x4c}
0x2540…258c Line {l1=0x4a, l2=»og numerisk stabil proces, som vi ikke vil komme nærmere ind på her (se f.«, l3=0x4a}
0x258c…25b2 Line {l1=0x24, l2=»eks. Forsythe et. al. (11) s.71-76).«, l3=0x24}
0x25b2…25b5 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
[…0x1…]
0x25b8…2600 Line {l1=0x46, l2=»* Hjørner, knæk og andre diskontinuiteter opnås ved at gentage/dublere«, l3=0x46}
0x2600…263c Line {l1=0x3a, l2=» det punkt (knude), hvor diskontinuiteten skal forekomme.«, l3=0x3a}
0x263c…263f Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
[…0x1…]
0x2642…2660 00 00 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 ┆ cccccccccccccccccccccccccccc┆
0x2660…2680 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 ┆cccccccccccccccccccccccccccccccc┆
[…0x4…]