|
DataMuseum.dkPresents historical artifacts from the history of: MIKADOS |
This is an automatic "excavation" of a thematic subset of
See our Wiki for more about MIKADOS Excavated with: AutoArchaeologist - Free & Open Source Software. |
top - download
Length: 3744 (0xea0)
Types: TextFile
Notes: Mikados_K
Names: »REELLE.K«
└─⟦98735d749⟧ Bits:30007443 8" floppy ( TEXT ) vedr. matematik i skibsindustrien
└─⟦this⟧ »REELLE.K«
For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-
elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har
ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-
onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i
det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:
a hvis a > 0
a = , a Q .
-a hvis a < 0
Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:
Følgen (a ) fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis
V Q n N V m,n N: m,n > n => a - a < .
En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,
hvis
a Q V Q n N V n N: n > n => a - a < .
Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra
Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a ) og
(b ) er to vilkårlige fundamentalfølger:
(a ) + (b ) = (a + b )
og tilsvarende for :
(a ) (b ) = (a b ) og c (a ) = (ca ) .
(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med
etelement.
Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation i F, der harmo-
nerer med + og , således:
(a ) (b ) <=> (a - b ) -> 0 for n-> (er en nul-
følge)
betragter vi mængden Q = F/ , og kan nu vise, at (Q ,+, )
er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og defi-
neres som i F.
Vi indfører nu en relation > således, idet vi betegner to
vilkårlige elementer i Q med og repræsenteret af fun-
damentalfølgerne (b ) og (a ) :
> <=> b - a -> 0 for n -> eller
q Q n N V n N: n > n => b - a >q.
Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-
sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende
sætning:
1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-
morft med (Q,+, ).
2) Relationen > er en total ordningsrelation på Q , der
udvider > og harmonerer med + og i (Q ,+, ).
3) Q' er tæt i Q , dvs.
V , Q Q': < <
4) (Q ,+, ,> ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,
at enhver fundamentalfølge fra Q er konvergent.
Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke
længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi
vil fremover benævne Q med R.
Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-
skaber ved talsystemerne.
En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.
at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele
tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom
opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har
en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et
største element.
Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,
at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har
et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De
hele tal er altså ikke en velordnet mængde.
Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister
mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en
efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-
så bort fra og med de rationale tal.
Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,
at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-
onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige
rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der
ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i
forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være
tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem
intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q.
0x000…03e Line {l1=0x3c, l2=»For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-«, l3=0x3c}
0x03e…079 Line {l1=0x39, l2=»elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har«, l3=0x39}
0x079…0b7 Line {l1=0x3c, l2=»ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-«, l3=0x3c}
0x0b7…0f3 Line {l1=0x3a, l2=»onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i«, l3=0x3a}
0x0f3…11a Line {l1=0x25, l2=»det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:«, l3=0x25}
0x11a…139 Line {l1=0x1d, l2=» a hvis a > 0«, l3=0x1d}
0x139…163 Line {l1=0x28, l2=» a = , a Q .«, l3=0x28}
0x163…182 Line {l1=0x1d, l2=» -a hvis a < 0«, l3=0x1d}
0x182…1b7 Line {l1=0x33, l2=»Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:«, l3=0x33}
0x1b7…1ec Line {l1=0x33, l2=»Følgen (a ) fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis«, l3=0x33}
0x1ec…226 Line {l1=0x38, l2=» V Q n N V m,n N: m,n > n => a - a < .«, l3=0x38}
0x226…262 Line {l1=0x3a, l2=»En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,«, l3=0x3a}
0x262…268 Line {l1=0x04, l2=»hvis«, l3=0x04}
0x268…2a3 Line {l1=0x39, l2=» a Q V Q n N V n N: n > n => a - a < .«, l3=0x39}
0x2a3…2e0 Line {l1=0x3b, l2=»Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra«, l3=0x3b}
0x2e0…31e Line {l1=0x3c, l2=»Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a ) og«, l3=0x3c}
0x31e…349 Line {l1=0x29, l2=»(b ) er to vilkårlige fundamentalfølger:«, l3=0x29}
0x349…367 Line {l1=0x1c, l2=» (a ) + (b ) = (a + b )«, l3=0x1c}
0x367…37f Line {l1=0x16, l2=»og tilsvarende for :«, l3=0x16}
0x37f…3b6 Line {l1=0x35, l2=» (a ) (b ) = (a b ) og c (a ) = (ca ) .«, l3=0x35}
0x3b6…3f1 Line {l1=0x39, l2=»(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med«, l3=0x39}
0x3f1…3fd Line {l1=0x0a, l2=»etelement.«, l3=0x0a}
0x3fd…43a Line {l1=0x3b, l2=»Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation i F, der harmo-«, l3=0x3b}
0x43a…457 Line {l1=0x1b, l2=»nerer med + og , således:«, l3=0x1b}
0x457…495 Line {l1=0x3c, l2=» (a ) (b ) <=> (a - b ) -> 0 for n-> (er en nul-«, l3=0x3c}
0x495…4d3 Line {l1=0x3c, l2=» følge)«, l3=0x3c}
0x4d3…510 Line {l1=0x3b, l2=»betragter vi mængden Q = F/ , og kan nu vise, at (Q ,+, )«, l3=0x3b}
0x510…54d Line {l1=0x3b, l2=»er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og defi-«, l3=0x3b}
0x54d…55d Line {l1=0x0e, l2=»neres som i F.«, l3=0x0e}
0x55d…59a Line {l1=0x3b, l2=»Vi indfører nu en relation > således, idet vi betegner to«, l3=0x3b}
0x59a…5d8 Line {l1=0x3c, l2=»vilkårlige elementer i Q med og repræsenteret af fun-«, l3=0x3c}
0x5d8…5fb Line {l1=0x21, l2=»damentalfølgerne (b ) og (a ) :«, l3=0x21}
0x5fb…62d Line {l1=0x30, l2=» > <=> b - a -> 0 for n -> eller«, l3=0x30}
0x62d…66b Line {l1=0x3c, l2=» q Q n N V n N: n > n => b - a >q.«, l3=0x3c}
0x66b…6a8 Line {l1=0x3b, l2=»Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-«, l3=0x3b}
0x6a8…6e2 Line {l1=0x38, l2=»sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende«, l3=0x38}
0x6e2…6ec Line {l1=0x08, l2=»sætning:«, l3=0x08}
0x6ec…6ef Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x6ef…72d Line {l1=0x3c, l2=»1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-«, l3=0x3c}
0x72d…744 Line {l1=0x15, l2=» morft med (Q,+, ).«, l3=0x15}
0x744…77f Line {l1=0x39, l2=»2) Relationen > er en total ordningsrelation på Q , der«, l3=0x39}
0x77f…7b3 Line {l1=0x32, l2=» udvider > og harmonerer med + og i (Q ,+, ).«, l3=0x32}
0x7b3…7cc Line {l1=0x17, l2=»3) Q' er tæt i Q , dvs.«, l3=0x17}
0x7cc…7ec Line {l1=0x1e, l2=» V , Q Q': < <«, l3=0x1e}
0x7ec…82a Line {l1=0x3c, l2=»4) (Q ,+, ,> ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,«, l3=0x3c}
0x82a…85f Line {l1=0x33, l2=» at enhver fundamentalfølge fra Q er konvergent.«, l3=0x33}
0x85f…862 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x862…8a0 Line {l1=0x3c, l2=»Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke«, l3=0x3c}
0x8a0…8dd Line {l1=0x3b, l2=»længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi«, l3=0x3b}
0x8dd…8fd Line {l1=0x1e, l2=»vil fremover benævne Q med R.«, l3=0x1e}
0x8fd…900 Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x900…93e Line {l1=0x3c, l2=»Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-«, l3=0x3c}
0x93e…959 Line {l1=0x19, l2=»skaber ved talsystemerne.«, l3=0x19}
0x959…95c Line {l1=0x01, l2=» «, l3=0x01}
0x95c…99a Line {l1=0x3c, l2=»En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.«, l3=0x3c}
0x99a…9d7 Line {l1=0x3b, l2=»at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele«, l3=0x3b}
0x9d7…a13 Line {l1=0x3a, l2=»tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom«, l3=0x3a}
0xa13…a4f Line {l1=0x3a, l2=»opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har«, l3=0x3a}
0xa4f…a89 Line {l1=0x38, l2=»en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et«, l3=0x38}
0xa89…a9b Line {l1=0x10, l2=»største element.«, l3=0x10}
0xa9b…ad7 Line {l1=0x3a, l2=»Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,«, l3=0x3a}
0xad7…b12 Line {l1=0x39, l2=»at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har«, l3=0x39}
0xb12…b4d Line {l1=0x39, l2=»et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De«, l3=0x39}
0xb4d…b7a Line {l1=0x2b, l2=»hele tal er altså ikke en velordnet mængde.«, l3=0x2b}
0xb7a…bb6 Line {l1=0x3a, l2=»Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister«, l3=0x3a}
0xbb6…bf1 Line {l1=0x39, l2=»mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en«, l3=0x39}
0xbf1…c2e Line {l1=0x3b, l2=»efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-«, l3=0x3b}
0xc2e…c54 Line {l1=0x24, l2=»så bort fra og med de rationale tal.«, l3=0x24}
0xc54…c92 Line {l1=0x3c, l2=»Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,«, l3=0x3c}
0xc92…cd0 Line {l1=0x3c, l2=»at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-«, l3=0x3c}
0xcd0…d0e Line {l1=0x3c, l2=»onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige«, l3=0x3c}
0xd0e…d49 Line {l1=0x39, l2=»rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der«, l3=0x39}
0xd49…d87 Line {l1=0x3c, l2=»ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i«, l3=0x3c}
0xd87…dc2 Line {l1=0x39, l2=»forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være«, l3=0x39}
0xdc2…dfd Line {l1=0x39, l2=»tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem«, l3=0x39}
0xdfd…e2e Line {l1=0x2f, l2=»intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q.«, l3=0x2f}
0xe2e…e40 00 00 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 ┆ cccccccccccccccc┆
0xe40…e60 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 ┆cccccccccccccccccccccccccccccccc┆
[…0x2…]
<For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-<9elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har9<ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-<:onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i:%det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:%▶1d◀ a hvis a > 0▶1d◀( a = , a Q .(▶1d◀ -a hvis a < 0▶1d◀3Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:33Følgen (a ) fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis38 V Q n N V m,n N: m,n > n => a - a < .8:En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,:▶04◀hvis▶04◀9 a Q V Q n N V n N: n > n => a - a < .9;Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra;<Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a ) og<)(b ) er to vilkårlige fundamentalfølger:)▶1c◀ (a ) + (b ) = (a + b )▶1c◀▶16◀og tilsvarende for :▶16◀5 (a ) (b ) = (a b ) og c (a ) = (ca ) .59(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med9 etelement. ;Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation i F, der harmo-;▶1b◀nerer med + og , således:▶1b◀< (a ) (b ) <=> (a - b ) -> 0 for n-> (er en nul-<< følge)<;betragter vi mængden Q = F/ , og kan nu vise, at (Q ,+, );;er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og defi-;▶0e◀neres som i F.▶0e◀;Vi indfører nu en relation > således, idet vi betegner to;<vilkårlige elementer i Q med og repræsenteret af fun-<!damentalfølgerne (b ) og (a ) :!0 > <=> b - a -> 0 for n -> eller0< q Q n N V n N: n > n => b - a >q.<;Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-;8sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende8▶08◀sætning:▶08◀▶01◀ ▶01◀<1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-<▶15◀ morft med (Q,+, ).▶15◀92) Relationen > er en total ordningsrelation på Q , der92 udvider > og harmonerer med + og i (Q ,+, ).2▶17◀3) Q' er tæt i Q , dvs.▶17◀▶1e◀ V , Q Q': < <▶1e◀<4) (Q ,+, ,> ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,<3 at enhver fundamentalfølge fra Q er konvergent.3▶01◀ ▶01◀<Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke<;længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi;▶1e◀vil fremover benævne Q med R.▶1e◀▶01◀ ▶01◀<Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-<▶19◀skaber ved talsystemerne.▶19◀▶01◀ ▶01◀<En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.<;at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele;:tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom::opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har:8en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et8▶10◀største element.▶10◀:Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,:9at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har99et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De9+hele tal er altså ikke en velordnet mængde.+:Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister:9mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en9;efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-;$så bort fra og med de rationale tal.$<Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,<<at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-<<onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige<9rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der9<ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i<9forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være99tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem9/intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q./▶00◀▶00◀cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccc