⟦5796752ae⟧

Text

TALSYSTEMERNES OPBYGNING.
STRUKTURPAPIR.
 
Vi ønsker at udvide semi-gruppen bestående af de naturlige 
tal med kompositionen +, (N,+), til den kommutative gruppe
(Z,+), bestående af de hele tal med den til denne mængde
tilpassede komposition +. En konsekvens af denne udvidelse
er, at det bliver muligt at løse alle ligninger af formen
  a + x = b.
 
Vi ønsker samtidig at udvide kompositionen   indenfor de na-
turlige tal til kompositionen   indenfor de hele tal.
 
For at kunne løse alle ligninger af formen
  a x + b = c,
vil vi udvide den kommutative integritetsring bestående af
mængden af hele tal med kompositionerne + og (Z,+, ), hvor
(Z 0 , ) altså ikke er en gruppe, til det kommutative legeme
(Q,+, ) med kompositionerne + og indenfor de rationale tal.
 
Dette legeme ønsker vi endelig at udvide til de reelle tals 
fuldstændige legeme, hvorved ikke alene ligninger af typen
  x x = 2,
får løsninger, men hvor også visse følger af rationale tal, 
fundamentalfølger, der ikke konvergerer indenfor de
rationale tal, kan vises at konvergere mod en grænseværdi
fra legemet, nemlig et reelt tal.
 
Vi ønsker, at de tre udvidelser skal være "ens" i den 
forstand, at der dels eksisterer en delmængde af den
udvidede algebraiske struktur, der er isomorf med den
underliggende struktur, dels at alle elementer i den 
udvidede struktur kan dannes udfra elementer i den
underliggende struktur. Endvidere gælder der om alle tre ud-
videlser, at de er entydigt bestemt pånær isomorfi, altså at
alle tænkelige udvidelser, der tilfredsstiller ovennævnte
krav, vil være isomorfe.
 
Den første udvidelse fra de naturlige til de hele tal sker
gennem beviset af følgende sætning:
 
Der findes en kommutativ gruppe (G,+), som har følgende eg-
enskaber:
1) Der findes en delmængde (N,+) af (G,+), der isomorf med
   (N,+).
2) Ethvert element g i G kan skrives på formen
   g = m - n
   for et m og et n i N, idet - n betegner addition af det
   til + svarende inverse element til n.
Gruppen (G,+) er entydigt bestemt pånær isomorfi på en sådan
måde, at andre gennem 1) og 2) bestemte kommutative grupper
er isomorfe med (G,+) sådan at også den tilsvarende "natur-
ligtals delmængde" er isomorf med (N,+).
 
Fidusen i beviset består i at definere G som mængden af æk-
vivalensklasser i N N bestemt ved ækvivalensrelationen  ,
defineret ved :
  V (m ,n ), (m ,n ) N N: (m ,n ) (m ,n ) = m +n  = m +  .
I mængden G defineres kompositionen + så således:
  V g ,g  G: g +g  = g       +g        = g
Beviset for, at den således definerede gruppe (G,+) opfylder
sætningen, er nu hovedsagelig af teknisk art, og vi vil
fremover benævne G som Z.
 
Ved at definere relationen >  på de hele tal ved:
   u >  z  =  u - v   N,
vises det let, at >  er en total ordningsrelation, og at re-
lationen er en udvidelse af ordningsrelationen >  på de na-
turlige tal.
 
Idet to vilkårlige hele tal g  og g  kan skrives som
g  = m - n  og g  = m -n  for m ,m ,n ,n  naturlige tal, de-
fineres   i Z ved:
   g  g  = (m m  + n n ) - (m n  + m n ).
  defineret således kan vises at udgøre en udvidelse af   i
N.
 
Udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal kommer i
stand ved at bevise følgende sætning:
 
Der findes et kommutativt legeme (L,+, ) med følgende egen-
skaber:
1) Der findes en delmængde M af L, så at (M,+, ) er en kom-
   mutativ integritetsring indeholdende etelementet, og så
   at (Z,+, ) er isomorft med (M,+, ).
2) Ethvert element r L kan fremstilles på formen:  r = uv
   for et u M og et V M  0 .
3) (L,+, ) er i følgende forstand det mindste kommutative
   legeme, der har (Z,+, ) som delring: Hvis (L',+, ) er et
   kommutativt legeme, der har (Z,+, ) som delring (i samme
   betydning som 1)), findes et dellegeme af (L',+, ), som
   er isomorft med (L,+, ).
4) Hvis (L ,+, ) opfylder 1) og 2) er (L,+, ) isomorft med
   (L ,+, ).
 
I dette bevis er fidusen at definere L som kvotientmængden
P/ , idet P er mængden af talpar fra ZxZ, hvor andenkompo-
nenten er forskellig fra 0, og ækvivalensrelationen   er
defineret ved:
   V (p,q),(s,t)  P: (p,q)  (s,t)  =  pt = qs.
Vi definerer nu + i L således, idet (u,v) og (s,t) er repræ-
sentanter for to mængder i L:
   (u,v) + (s,t) = (ut + vs,vt)
På tilsvarende måde defineres   i L således:
   (u,v)   (s,t) = (us,vt).
Beviset for sætningen er herefter af teknisk art, omend ret
omfattende, og vi vil herefter benævne L som Q. Den traditi-
inelle opfattelse af et rationalt tal kan findes ved at op-
fatte hhv. 1. og 2. komponent som hhv. tæller og nævner.
Relationen >  defineret som
  r >  q  =  (r - q)   Q     0  , vises let at være en total
ordningsrelation, der harmonerer med + og   og er en udvi-
delse af > .
 
For at gennemføre udvidelsen fra de rationale tal til de re-
elle tal, får vi nu brug for den ordningsrelation, vi har
ført med fra de naturlige tal, over de hele tal til de rati-
onale tal. Vi indfører nemlig nu begrebet numerisk værdi i
det ordnede legeme (Q,+, ,>) således:
               a   hvis a > 0
    a  =                        , a  Q .
              -a   hvis a < 0
Vi kan nu definere en fundamentalfølge i Q således:
Følgen (a )  fra Q kaldes en fundamentalfølge, hvis
   V   Q    n   N V m,n  N: m,n > n  =>   a  - a   <   .
En sådan følge siges at være konvergent med grænsepunkt a,
hvis
     a  Q V   Q    n   N V n  N: n > n   =>  a  - a  <  .
Idet vi nu lader F betegne mængden af fundamentalfølger fra
Q, kan vi indføre kompositionen + i F således, idet (a )  og
(b )  er to vilkårlige fundamentalfølger:
   (a )  + (b )  = (a  + b )
og tilsvarende for   :
   (a )    (b )  = (a    b )  og  c (a )   = (ca )  .
(F,+, ) kan herefter vises at være en kommutativ ring med
etelement.
Idet vi nu indfører en ækvivalensrelation   i F, der harmo-
nerer med + og   , således:
   (a )    (b )  <=> (a  - b )  -> 0 for n->     (er en nul-
                                                      følge)
betragter vi mængden Q  = F/  , og kan nu vise, at (Q ,+, )
er et kommutativt legeme, idet kompositionerne + og   defi-
neres som i F.
Vi indfører nu en relation >   således, idet vi betegner to
vilkårlige elementer i Q  med    og    repræsenteret af fun-
damentalfølgerne (b )  og (a )  :
      >      <=>  b  - a  -> 0 for n ->    eller
                   q Q   n   N V n  N: n > n  => b  - a  >q.
Med (Q ,+, ) indført som her skitseret, formuleres udvidel-
sen fra de rationale tal til de reelle tal nu i følgende
sætning:
 
1) Der findes et dellegeme (Q',+, ) af (Q ,+, ), som er iso-
   morft med (Q,+, ).
2) Relationen >   er en total ordningsrelation på Q , der
   udvider >  og harmonerer med + og   i (Q ,+, ).
3) Q' er tæt i Q , dvs.
      V  ,   Q      Q':   <  <
4) (Q ,+, ,>  ) er et fuldstændigt legeme, hvilket vil sige,
   at enhver fundamentalfølge fra Q  er konvergent.
 
Med de inden sætningen indførte definitioner er beviset ikke
længere direkte fidus-præget, men meget arbejdskrævende. Vi
vil fremover benævne Q  med R.
 
Nogle konsekvenser af de successivt øgede strukturelle egen-
skaber ved talsystemerne.
 
En markant forskel på de hele tal og de reelle tal er f.eks.
at mens enhver ikke-tom opad begrænset delmængde af de hele
tal har et største element, kan man kun om enhver ikke-tom
opad begrænset delmængde af de reelle tal sige, at den har
en øvre grænse. Man kan altså ikke nødvendigvis finde et
største element.
Mellem de naturlige tal og de hele tal er der det forhold,
at mens enhver ikke-tom delmængde af de naturlige tal har
et mindste element, gælder dette ikke for de hele tal. De
hele tal er altså ikke en velordnet mængde.
Ved udvidelsen fra de hele tal til de rationale tal mister
mængden den egenskab, at ethvert element i mængden har en
efterfølger. Grundlaget for induktions-aksiomet falder alt-
så bort fra og med de rationale tal.
Mellem de rationale tal og de reelle tal er der det forhold,
at der mellem to vilkårlige reelle tal altid findes et rati-
onalt tal, men samtidig findes der også mellem to vilkårlige
rationale tal et irrationalt tal, altså et reelt tal, der
ikke er rationalt. Endvidere mangler mængden af reelle tal i
forhold til mængden af rationale tal den egenskab at være
tællelig. Der kan derfor ikke etableres isomorfier mellem
intervaller af R og Q, endsige delmængder af Q.
DataMuseum.dk

MIKADOS

⟦5796752ae⟧

Derivation

Text
