|
DataMuseum.dkPresents historical artifacts from the history of: Q1 computer |
This is an automatic "excavation" of a thematic subset of
See our Wiki for more about Q1 computer Excavated with: AutoArchaeologist - Free & Open Source Software. |
top - metrics - download
Length: 8316 (0x207c)
Types: Q1_HexDump, reclen=462
Notes: q1file
Names: »M4«, »M4R«, »T4«
└─⟦18838bf52⟧ Bits:30008709 DDMQ1-0149_OPTIONSTEORI
└─⟦this⟧ »T4«
└─⟦fb89859a1⟧ Bits:30008708 DDMQ1-0148_HELA_UPPSATSEN
└─⟦this⟧ »M4«
└─⟦this⟧ »M4R«
0x0000…01ce (0,) 34 20 20 20 20 20 05 4d 61 74 65 6d 61 74 69 73 6b 61 20 6d 65 74 6f 64 65 72 20 66 7c 72 20 61 74 74 20 62 65 72 7b 6b 6e 61 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 72 73 20 76 7b 72 64 65 04 0d 34 2e 31 20 ┆4 Matematiska metoder för att beräkna optioners värde 4.1 ┆ 0x0000…01ce 20 20 05 45 6e 20 65 6e 6b 65 6c 20 6d 6f 64 65 6c 6c 04 0d 0d 44 65 20 6d 6f 64 65 6c 6c 65 72 20 73 6f 6d 20 6b 6f 6e 73 74 72 75 65 72 61 74 73 20 75 74 65 73 6c 75 74 61 6e 64 65 20 66 7c ┆ En enkel modell De modeller som konstruerats uteslutande fö┆ 0x0000…01ce 72 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 76 7b 72 64 65 72 69 6e 67 20 62 65 73 6b 72 69 76 65 72 20 65 6e 20 72 65 6c 61 74 69 6f 6e 20 6d 65 6c 6c 61 6e 20 61 6b 74 69 65 6e 73 20 6f 63 68 20 6f 70 74 69 ┆r optionsvärdering beskriver en relation mellan aktiens och opti┆ 0x0000…01ce 6f 6e 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 6e 2e 20 44 65 20 75 74 67 7d 72 20 66 72 7d 6e 20 61 74 74 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 20 70 7d 20 73 69 73 74 61 20 69 6e 6c 7c 73 65 6e ┆onens värden. De utgår från att optionens värde på sista inlösen┆ 0x0000…01ce 64 61 67 65 6e 20 7b 72 20 65 78 61 6b 74 20 64 65 73 73 20 6d 69 6e 69 6d 69 76 7b 72 64 65 20 66 7c 72 20 65 6e 20 67 69 76 65 6e 20 61 6b 74 69 65 6b 75 72 73 2c 20 64 76 73 20 6e 6f 74 65 ┆dagen är exakt dess minimivärde för en given aktiekurs, dvs note┆ 0x0000…01ce 72 61 64 20 62 7c 72 73 6b 75 72 73 20 66 7c 72 20 75 6e 64 65 72 6c 69 67 67 61 6e 64 65 20 61 6b 74 69 65 20 6d 69 6e 75 73 20 74 65 63 6b 6e 69 6e 67 73 6b 75 72 73 65 6e 2e 0d 0d 20 20 46 ┆rad börskurs för underliggande aktie minus teckningskursen. F┆ 0x0000…01ce 6f 72 6d 65 6c 6c 74 3a 20 50 6f 20 3d 20 50 61 20 2d 20 50 74 0d 0d 20 20 64 7b 72 20 73 7d 6c 65 64 65 73 20 13 50 6f 20 3d 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 0d 50 61 20 3d 20 ┆ormellt: Po = Pa - Pt där således Po = optionens värde Pa = ┆ 0x0000…01ce 75 6e 64 65 72 6c 69 67 67 61 6e 64 65 20 ┆underliggande ┆ 0x01ce…039c (1,) 61 6b 74 69 65 73 20 64 61 67 73 6b 75 72 73 0d 50 74 20 3d 20 74 65 63 6b 6e 69 6e 67 73 6b 75 72 73 65 6e 18 30 0d 0d 48 7b 72 20 73 79 6e 73 20 61 74 74 20 65 6e 20 7b 6e 64 72 69 6e 67 20 ┆akties dagskurs Pt = teckningskursen 0 Här syns att en ändring ┆ 0x01ce…039c 61 76 20 61 6b 74 69 65 6b 75 72 73 65 6e 20 6f 72 73 61 6b 61 72 20 65 6e 20 6c 69 6b 61 20 73 74 6f 72 20 7b 6e 64 72 69 6e 67 20 69 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 20 69 20 ┆av aktiekursen orsakar en lika stor ändring i optionens värde i ┆ 0x01ce…039c 6b 72 6f 6e 6f 72 20 72 7b 6b 6e 61 74 2e 20 46 7c 72 20 61 74 74 20 66 6f 72 6d 65 6c 6e 20 73 6b 61 6c 6c 20 76 61 72 61 20 74 69 6c 6c 7b 6d 70 6c 69 67 20 75 6e 64 65 72 20 68 65 6c 61 20 ┆kronor räknat. För att formeln skall vara tillämplig under hela ┆ 0x01ce…039c 74 69 64 65 6e 20 74 69 6c 6c 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 69 6e 6c 7c 73 65 6e 20 67 7c 72 73 20 74 76 7d 20 6a 75 73 74 65 72 69 6e 67 61 72 2e 0d 0d 31 2e 20 13 41 6b 74 69 65 6e 73 20 ┆tiden till optionens inlösen görs två justeringar. 1. Aktiens ┆ 0x01ce…039c 6e 75 76 61 72 61 6e 64 65 20 62 7c 72 73 6b 75 72 73 20 50 61 20 6d 69 6e 73 6b 61 73 20 6d 65 64 20 6e 75 76 7b 72 64 65 74 20 61 76 20 64 65 20 66 7c 72 76 7b 6e 74 61 64 65 20 75 74 64 65 ┆nuvarande börskurs Pa minskas med nuvärdet av de förväntade utde┆ 0x01ce…039c 6c 6e 69 6e 67 61 72 6e 61 20 70 7d 20 61 6b 74 69 65 6e 2e 20 41 6e 6c 65 64 6e 69 6e 67 65 6e 20 7b 72 20 61 74 74 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 69 6e 6e 65 68 61 76 61 72 65 6e 20 67 7d 72 20 6d ┆lningarna på aktien. Anledningen är att optionsinnehavaren går m┆ 0x01ce…039c 69 73 74 65 20 6f 6d 20 64 65 73 73 61 2e 18 30 0d 0d 32 2e 20 13 54 65 63 6b 6e 69 6e 67 73 6b 75 72 73 65 6e 20 50 74 20 6e 75 76 7b 72 64 65 62 65 72 7b 6b 6e 61 73 20 74 69 6c 6c 20 76 7b ┆iste om dessa. 0 2. Teckningskursen Pt nuvärdeberäknas till vä┆ 0x01ce…039c 72 64 65 74 20 66 7c 72 20 69 6e 6e 65 76 ┆rdet för innev┆ 0x039c…056a (2,) 61 72 61 6e 64 65 20 74 69 64 70 75 6e 6b 74 20 67 65 6e 6f 6d 20 61 74 74 20 64 69 76 69 64 65 72 61 73 20 6d 65 64 20 28 20 31 20 2b 20 72 20 29 0d 64 7b 72 20 72 20 3d 20 72 7b 6e 74 65 73 ┆arande tidpunkt genom att divideras med ( 1 + r ) där r = räntes┆ 0x039c…056a 61 74 73 65 6e 20 6f 63 68 20 74 20 3d 20 72 65 73 74 65 72 61 6e 64 65 20 74 69 64 20 74 69 6c 6c 20 69 6e 6c 7c 73 65 6e 2e 18 30 0d 0d 45 74 74 20 65 78 65 6d 70 65 6c 3a 20 46 7c 72 20 6f ┆atsen och t = resterande tid till inlösen. 0 Ett exempel: För o┆ 0x039c…056a 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 74 65 6e 20 54 72 61 6e 73 61 74 6c 61 6e 74 69 63 20 32 20 76 61 72 20 38 34 20 31 30 20 31 35 20 76 7b 72 64 65 6e 61 20 66 7c 6c 6a 61 6e 64 65 3a 0d 0d 54 69 64 ┆ptionsrätten Transatlantic 2 var 84 10 15 värdena följande: Tid┆ 0x039c…056a 65 6e 20 74 69 6c 6c 20 69 6e 6c 7c 73 65 6e 09 09 74 20 3d 20 33 2e 36 37 20 7d 72 0d 54 65 63 6b 6e 69 6e 67 73 6b 75 72 73 65 6e 09 09 09 50 74 20 3d 20 36 35 2e 32 30 20 6b 72 0d 55 6e 64 ┆en till inlösen t = 3.67 år Teckningskursen Pt = 65.20 kr Und┆ 0x039c…056a 65 72 6c 69 67 67 61 6e 64 65 20 61 6b 74 69 65 6e 73 20 6b 75 72 73 09 09 50 61 20 3d 20 36 39 20 6b 72 0d 52 69 73 6b 66 72 69 61 20 72 7b 6e 74 61 6e 20 62 65 64 7c 6d 73 20 74 69 6c 6c 09 ┆erliggande aktiens kurs Pa = 69 kr Riskfria räntan bedöms till ┆ 0x039c…056a 09 72 20 3d 20 31 34 20 25 0d 5d 72 65 74 73 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 20 70 65 72 20 61 6b 74 69 65 09 09 75 20 3d 20 31 2e 38 37 20 6b 72 0d 0d 56 69 20 66 7c 72 75 74 73 7b 74 74 65 72 ┆ r = 14 % Årets utdelning per aktie u = 1.87 kr Vi förutsätter┆ 0x039c…056a 20 61 74 74 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 6e 61 20 7c 6b 61 73 20 7d 72 6c 69 67 65 6e 20 6d 65 64 20 6c 69 6b 61 20 6d 79 63 6b 65 74 20 73 6f 6d 20 72 69 73 6b 66 72 69 61 20 72 7b 6e ┆ att utdelningarna ökas årligen med lika mycket som riskfria rän┆ 0x039c…056a 74 61 6e 2c 20 73 6f 6d 20 76 69 20 61 6e ┆tan, som vi an┆ 0x056a…0738 (3,) 74 61 72 20 76 61 72 61 20 31 34 20 70 72 6f 63 65 6e 74 2e 20 44 7d 20 7b 72 20 73 75 6d 6d 61 6e 20 61 76 20 6e 75 76 7b 72 64 65 6e 61 20 66 7c 72 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 6e 61 ┆tar vara 14 procent. Då är summan av nuvärdena för utdelningarna┆ 0x056a…0738 20 65 6e 6b 6c 61 20 61 74 74 20 62 65 72 7b 6b 6e 61 2e 20 55 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 20 62 65 74 61 6c 61 73 20 65 6e 64 61 73 74 20 65 6e 20 67 7d 6e 67 20 70 65 72 20 7d 72 2e 20 55 ┆ enkla att beräkna. Utdelningar betalas endast en gång per år. U┆ 0x056a…0738 6e 64 65 72 20 33 2e 36 37 20 7d 72 20 62 65 74 61 6c 61 73 20 64 65 20 74 72 65 20 67 7d 6e 67 65 72 2e 20 56 69 64 20 6e 75 76 7b 72 64 65 62 65 72 7b 6b 6e 69 6e 67 65 6e 20 74 61 73 20 64 ┆nder 3.67 år betalas de tre gånger. Vid nuvärdeberäkningen tas d┆ 0x056a…0738 7b 72 66 7c 72 20 62 61 72 61 20 68 65 6c 74 61 6c 65 74 20 61 76 20 74 69 64 65 6e 20 6d 65 64 2e 20 44 7d 20 62 6c 69 72 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 6e 61 73 20 6e 75 76 7b 72 64 65 ┆ärför bara heltalet av tiden med. Då blir utdelningarnas nuvärde┆ 0x056a…0738 20 74 2a 75 20 65 6c 6c 65 72 20 33 2a 31 2e 38 37 20 3d 20 35 2e 36 31 20 6b 72 6f 6e 6f 72 2e 0d 0d 4e 75 20 6b 61 6e 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 74 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 20 50 6f ┆ t*u eller 3*1.87 = 5.61 kronor. Nu kan optionsrättens värde Po┆ 0x056a…0738 20 62 65 72 7b 6b 6e 61 73 3a 0d 0d 20 20 50 6f 20 3d 20 50 61 20 2d 20 74 2a 75 20 2d 20 50 74 2f 28 31 2b 72 29 0d 20 20 20 20 20 3d 20 36 39 20 2d 20 33 2a 31 2e 38 37 20 2d 20 36 35 2e 32 ┆ beräknas: Po = Pa - t*u - Pt/(1+r) = 69 - 3*1.87 - 65.2┆ 0x056a…0738 30 2f 28 31 2b 30 2e 31 34 29 20 20 20 3d 20 32 33 2e 30 38 20 6b 72 2e 0d 0d 4f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 74 65 6e 20 6e 6f 74 65 72 61 64 65 73 20 64 65 6e 6e 61 20 64 61 67 20 74 69 6c 6c ┆0/(1+0.14) = 23.08 kr. Optionsrätten noterades denna dag till┆ 0x056a…0738 20 33 34 20 6b 72 6f 6e 6f 72 2e 20 48 75 ┆ 34 kronor. Hu┆ 0x0738…0906 (4,) 72 75 76 69 64 61 20 6d 65 74 6f 64 65 6e 20 7b 72 20 62 72 61 20 61 74 74 20 61 6e 76 7b 6e 64 61 20 69 20 70 72 61 6b 74 69 6b 65 6e 20 65 6c 6c 65 72 20 69 6e 74 65 20 68 61 72 20 76 69 20 ┆ruvida metoden är bra att använda i praktiken eller inte har vi ┆ 0x0738…0906 69 6e 74 65 20 74 65 73 74 61 74 2e 20 45 74 74 20 65 6e 64 61 20 6d 7b 74 74 69 6c 66 7b 6c 6c 65 20 72 7b 63 6b 65 72 20 69 6e 74 65 20 61 74 74 20 67 72 75 6e 64 61 20 65 6e 20 73 7d 64 61 ┆inte testat. Ett enda mättilfälle räcker inte att grunda en såda┆ 0x0738…0906 6e 20 62 65 64 7c 6d 6e 69 6e 67 20 70 7d 2e 20 44 65 6e 20 74 6a 7b 6e 61 72 20 68 7b 72 20 65 6e 64 61 73 74 20 73 6f 6d 20 67 72 75 6e 64 20 66 7c 72 20 76 69 64 61 72 65 20 72 65 73 6f 6e ┆n bedömning på. Den tjänar här endast som grund för vidare reson┆ 0x0738…0906 65 6d 61 6e 67 2e 19 34 2e 32 20 20 05 47 6f 72 64 6f 6e 73 20 67 72 6f 77 74 68 20 64 69 76 69 64 65 6e 64 04 0d 0d 45 6e 20 61 6e 6e 61 6e 20 6d 6f 64 65 6c 6c 20 66 7c 72 20 6f 70 74 69 6f ┆emang. 4.2 Gordons growth dividend En annan modell för optio┆ 0x0738…0906 6e 73 76 7b 72 64 65 72 69 6e 67 20 68 61 72 20 61 72 62 65 74 61 74 73 20 66 72 61 6d 20 66 72 7d 6e 20 64 65 6e 20 61 6b 74 69 65 76 7b 72 64 65 72 69 6e 67 73 6d 6f 64 65 6c 6c 20 73 6f 6d ┆nsvärdering har arbetats fram från den aktievärderingsmodell som┆ 0x0738…0906 20 70 72 65 73 65 6e 74 65 72 61 64 65 73 20 61 76 20 4d 4a 20 47 6f 72 64 6f 6e 20 31 39 36 32 20 28 31 29 2e 20 41 6b 74 69 65 6d 6f 64 65 6c 6c 65 6e 20 75 74 67 7d 72 20 66 72 7d 6e 20 61 ┆ presenterades av MJ Gordon 1962 (1). Aktiemodellen utgår från a┆ 0x0738…0906 74 74 20 76 7b 72 64 65 74 20 70 7d 20 65 6e 20 61 6b 74 69 65 20 7b 72 20 64 65 74 20 64 69 73 6b 6f 6e 74 65 72 61 64 65 20 76 7b 72 64 65 74 20 61 76 20 66 72 61 6d 74 69 64 61 20 75 74 64 ┆tt värdet på en aktie är det diskonterade värdet av framtida utd┆ 0x0738…0906 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 2c 20 64 7b 72 20 ┆elningar, där ┆ 0x0906…0ad4 (5,) 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 6e 61 20 61 6e 74 61 73 20 76 7b 78 61 20 6d 65 64 20 65 6e 20 7d 72 6c 69 67 20 70 72 6f 63 65 6e 74 73 61 74 73 2e 0d 0d 56 69 20 61 6e 76 7b 6e 64 65 72 20 ┆utdelningarna antas växa med en årlig procentsats. Vi använder ┆ 0x0906…0ad4 73 6f 6d 20 74 69 64 69 67 61 72 65 20 73 79 6d 62 6f 6c 65 72 6e 61 3a 0d 0d 74 20 20 3d 20 74 69 64 65 6e 20 74 69 6c 6c 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 69 6e 6c 7c 73 65 6e 0d 50 74 20 3d ┆som tidigare symbolerna: t = tiden till optionens inlösen Pt =┆ 0x0906…0ad4 20 74 65 63 6b 6e 69 6e 67 73 6b 75 72 73 65 6e 0d 50 61 20 3d 20 75 6e 64 65 72 6c 69 67 67 61 6e 64 65 20 61 6b 74 69 65 73 20 6e 75 76 61 72 61 6e 64 65 20 62 7c 72 73 6b 75 72 73 0d 72 20 ┆ teckningskursen Pa = underliggande akties nuvarande börskurs r ┆ 0x0906…0ad4 20 3d 20 72 69 73 6b 66 72 69 61 20 72 7b 6e 74 61 6e 0d 75 20 20 3d 20 61 6b 74 69 65 6e 73 20 6e 75 76 61 72 61 6e 64 65 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 0d 44 65 73 73 75 74 6f 6d 20 69 6e 66 ┆ = riskfria räntan u = aktiens nuvarande utdelning Dessutom inf┆ 0x0906…0ad4 7c 72 20 76 69 20 74 72 65 20 6e 79 61 20 70 61 72 61 6d 65 74 72 61 72 3a 0d 76 20 20 3d 20 61 6b 74 69 65 6e 73 20 66 7c 72 76 7b 6e 74 61 64 65 20 7d 72 6c 69 67 61 20 75 74 64 65 6c 6e 69 ┆ör vi tre nya parametrar: v = aktiens förväntade årliga utdelni┆ 0x0906…0ad4 6e 67 73 2d 6f 63 68 20 6b 75 72 73 74 69 6c 6c 76 7b 78 74 0d 6b 20 20 3d 20 70 6c 61 63 65 72 61 72 65 6e 73 20 6c 7d 6e 67 73 69 6b 74 69 67 61 20 65 66 66 65 6b 74 69 76 61 76 6b 61 73 74 ┆ngs-och kurstillväxt k = placerarens långsiktiga effektivavkast┆ 0x0906…0ad4 6e 69 6e 67 73 6b 72 61 76 20 70 7d 20 61 6b 74 69 65 72 0d 20 20 20 20 20 28 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 20 2b 20 76 7b 72 64 65 73 74 65 67 72 69 6e 67 29 0d 64 20 20 3d 20 61 6b 74 69 65 6e ┆ningskrav på aktier (utdelning + värdestegring) d = aktien┆ 0x0906…0ad4 73 20 64 69 72 65 6b 74 61 76 6b 61 73 74 ┆s direktavkast┆ 0x0ad4…0ca2 (6,) 6e 69 6e 67 20 28 75 2f 50 61 29 0d 0d 46 7c 72 20 61 6b 74 69 65 72 20 73 65 72 20 66 6f 72 6d 65 6c 6e 20 75 74 3a 0d 0d 20 20 50 61 20 3d 20 20 20 75 20 2a 20 28 31 2b 76 29 20 20 2f 20 28 ┆ning (u/Pa) För aktier ser formeln ut: Pa = u * (1+v) / (┆ 0x0ad4…0ca2 31 2b 6b 29 20 20 3d 20 75 20 2f 20 28 6b 2d 76 29 0d 0d 47 65 6e 6f 6d 20 61 74 74 20 6a 7b 6d 66 7c 72 61 20 65 74 74 20 64 69 72 65 6b 74 20 6b 7c 70 20 61 76 20 65 6e 20 61 6b 74 69 65 20 ┆1+k) = u / (k-v) Genom att jämföra ett direkt köp av en aktie ┆ 0x0ad4…0ca2 6d 65 64 20 65 74 74 20 61 6c 74 65 72 6e 61 74 69 76 74 20 66 7c 72 76 7b 72 76 20 61 76 20 61 6b 74 69 65 6e 20 67 65 6e 6f 6d 20 6b 7c 70 20 61 76 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 74 20 73 ┆med ett alternativt förvärv av aktien genom köp av optionsrätt s┆ 0x0ad4…0ca2 6f 6d 20 62 65 72 7b 74 74 69 67 61 72 20 74 69 6c 6c 20 74 65 63 6b 6e 69 6e 67 20 61 76 20 65 6e 20 61 6b 74 69 65 2c 6b 61 6e 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 74 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 ┆om berättigar till teckning av en aktie,kan optionsrättens värde┆ 0x0ad4…0ca2 20 62 65 72 7b 6b 6e 61 73 2e 20 44 65 74 74 61 20 6b 61 6e 20 73 6b 72 69 76 61 73 3a 0d 0d 20 20 50 6f 20 3d 20 28 50 61 20 2a 20 28 31 2b 76 29 20 20 2d 20 50 74 29 20 2f 20 28 31 2b 6b 29 ┆ beräknas. Detta kan skrivas: Po = (Pa * (1+v) - Pt) / (1+k)┆ 0x0ad4…0ca2 0d 0d 65 6c 6c 65 72 0d 0d 20 20 50 6f 20 3d 20 50 61 20 2f 20 28 20 31 2b 64 29 20 20 2d 20 50 74 20 2f 20 28 31 2b 6b 29 0d 0d 44 65 6e 20 6f 62 73 65 72 76 61 6e 74 65 20 6c 7b 73 61 72 65 ┆ eller Po = Pa / ( 1+d) - Pt / (1+k) Den observante läsare┆ 0x0ad4…0ca2 6e 20 73 65 72 20 61 74 74 20 66 6f 72 6d 65 6c 6e 20 7b 72 20 73 6e 61 72 6c 69 6b 20 64 65 6e 20 73 6f 6d 20 70 72 65 73 65 6e 74 65 72 61 64 65 73 20 69 20 66 7c 72 72 61 20 61 76 73 6e 69 ┆n ser att formeln är snarlik den som presenterades i förra avsni┆ 0x0ad4…0ca2 74 74 65 74 2e 20 45 6e 64 61 73 74 20 6d ┆ttet. Endast m┆ 0x0ca2…0e70 (7,) 65 74 6f 64 65 6e 20 61 74 74 20 62 65 72 7b 6b 6e 61 20 6e 75 76 7b 72 64 65 6e 20 61 76 20 66 72 61 6d 74 69 64 61 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 20 73 6b 69 6c 6a 65 72 20 73 69 67 20 ┆etoden att beräkna nuvärden av framtida utdelningar skiljer sig ┆ 0x0ca2…0e70 66 72 7d 6e 20 64 65 6e 20 66 7c 72 72 61 2e 0d 0d 56 61 72 69 61 6e 74 65 72 20 66 7c 72 65 6b 6f 6d 6d 65 72 20 74 20 65 78 20 64 7b 72 20 76 7b 72 64 65 74 20 6b 6f 72 72 69 67 65 72 61 73 ┆från den förra. Varianter förekommer t ex där värdet korrigeras┆ 0x0ca2…0e70 20 6d 65 64 20 65 74 74 20 74 69 6c 6c 7b 67 67 20 66 7c 72 20 64 65 6e 20 68 7b 76 73 74 7d 6e 67 73 65 66 66 65 6b 74 20 28 6b 61 6c 6c 61 73 20 69 20 62 72 61 6e 73 63 68 65 6e 20 22 72 69 ┆ med ett tillägg för den hävstångseffekt (kallas i branschen "ri┆ 0x0ca2…0e70 73 6b 22 29 20 73 6f 6d 20 76 65 72 6b 61 72 20 70 7d 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 74 65 6e 73 20 61 76 6b 61 73 74 6e 69 6e 67 2e 20 0d 0d 4c 7d 74 20 6f 73 73 20 72 7b 6b 6e 61 20 65 74 ┆sk") som verkar på optionsrättens avkastning. Låt oss räkna et┆ 0x0ca2…0e70 74 20 65 78 65 6d 70 65 6c 20 6d 65 64 20 73 61 6d 6d 61 20 73 69 66 66 72 6f 72 20 73 6f 6d 20 74 69 64 69 67 61 72 65 2c 20 64 76 73 3a 0d 0d 74 20 20 3d 20 33 2e 36 37 20 7d 72 0d 50 74 20 ┆t exempel med samma siffror som tidigare, dvs: t = 3.67 år Pt ┆ 0x0ca2…0e70 3d 20 36 35 2e 32 30 20 6b 72 0d 50 61 20 3d 20 36 39 20 6b 72 0d 72 20 20 3d 20 31 34 20 25 0d 75 20 20 3d 20 31 2e 38 37 20 6b 72 0d 0d 44 7d 20 62 6c 69 72 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 ┆= 65.20 kr Pa = 69 kr r = 14 % u = 1.87 kr Då blir optionsrät┆ 0x0ca2…0e70 74 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 0d 0d 20 20 50 6f 20 3d 20 36 39 20 2f 20 28 31 2b 30 2e 30 32 37 29 20 20 2d 20 36 35 2e 32 30 20 2f 20 28 31 2b 30 2e 31 34 29 20 20 20 20 3d 20 32 33 2e 33 39 ┆tens värde Po = 69 / (1+0.027) - 65.20 / (1+0.14) = 23.39┆ 0x0ca2…0e70 20 6b 72 2e 0d 0d 49 6e 74 65 20 62 61 72 ┆ kr. Inte bar┆ 0x0e70…103e (8,) 61 20 6d 65 74 6f 64 65 6e 2c 20 75 74 61 6e 20 6f 63 6b 73 7d 20 72 65 73 75 6c 74 61 74 65 74 20 7b 72 20 73 6e 61 72 6c 69 6b 74 20 64 65 74 20 74 69 64 69 67 61 72 65 2e 20 49 20 64 65 74 ┆a metoden, utan också resultatet är snarlikt det tidigare. I det┆ 0x0e70…103e 20 66 7c 72 72 61 20 66 61 6c 6c 65 74 20 62 6c 65 76 20 72 65 73 75 6c 74 61 74 65 74 20 32 33 2e 30 38 20 6b 72 6f 6e 6f 72 2c 20 69 20 64 65 74 74 61 20 32 33 2e 33 39 20 6b 72 6f 6e 6f 72 ┆ förra fallet blev resultatet 23.08 kronor, i detta 23.39 kronor┆ 0x0e70…103e 2e 20 4d 61 72 6b 6e 61 64 73 76 7b 72 64 65 74 20 76 61 72 20 73 61 6d 6d 61 20 64 61 67 20 33 34 20 6b 72 6f 6e 6f 72 2e 20 19 34 2e 33 20 20 20 05 42 6c 61 63 6b 20 6f 63 68 20 53 63 68 6f ┆. Marknadsvärdet var samma dag 34 kronor. 4.3 Black och Scho┆ 0x0e70…103e 6c 65 73 04 0d 0d 46 69 73 63 68 65 72 20 42 6c 61 63 6b 20 6f 63 68 20 4d 79 72 6f 6e 20 53 63 68 6f 6c 65 73 20 70 72 65 73 65 6e 74 65 72 61 64 65 20 31 39 37 33 20 65 6e 20 6d 6f 64 65 6c ┆les Fischer Black och Myron Scholes presenterade 1973 en model┆ 0x0e70…103e 6c 20 66 7c 72 20 61 74 74 20 62 65 72 7b 6b 6e 61 20 76 7b 72 64 65 74 20 61 76 20 65 6e 20 6f 70 74 69 6f 6e 20 28 32 29 2e 20 44 65 20 75 74 67 7d 72 20 66 72 7d 6e 20 73 61 74 73 65 6e 20 ┆l för att beräkna värdet av en option (2). De utgår från satsen ┆ 0x0e70…103e 61 74 74 20 6f 6d 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 72 20 76 7b 72 64 65 72 61 73 20 72 7b 74 74 20 70 7d 20 6d 61 72 6b 6e 61 64 65 6e 20 73 7d 20 7b 72 20 64 65 74 20 6f 6d 7c 6a 6c 69 67 74 20 61 74 ┆att om optioner värderas rätt på marknaden så är det omöjligt at┆ 0x0e70…103e 74 20 65 72 68 7d 6c 6c 61 20 73 7b 6b 72 61 20 7c 76 65 72 76 69 6e 73 74 65 72 20 67 65 6e 6f 6d 20 61 74 74 20 62 6c 61 6e 64 61 20 69 6e 76 65 73 74 65 72 69 6e 67 61 72 20 69 20 6f 70 74 ┆t erhålla säkra övervinster genom att blanda investeringar i opt┆ 0x0e70…103e 69 6f 6e 65 72 20 6f 63 68 20 64 65 72 61 ┆ioner och dera┆ 0x103e…120c (9,) 73 20 75 6e 64 65 72 6c 69 67 67 61 6e 64 65 20 61 6b 74 69 65 72 2e 20 49 20 73 74 7b 6c 6c 65 74 20 76 69 6c 6c 65 20 64 65 20 6b 6f 6e 73 74 72 75 65 72 61 20 65 6e 20 6d 6f 64 65 6c 6c 20 ┆s underliggande aktier. I stället ville de konstruera en modell ┆ 0x103e…120c 66 7c 72 20 65 6e 20 72 69 73 6b 66 72 69 20 70 6f 72 74 66 7c 6c 6a 20 64 7b 72 20 61 76 6b 61 73 74 6e 69 6e 67 65 6e 20 7b 72 20 6c 69 6b 61 20 73 74 6f 72 20 73 6f 6d 20 72 69 73 6b 66 72 ┆för en riskfri portfölj där avkastningen är lika stor som riskfr┆ 0x103e…120c 69 61 20 72 7b 6e 74 61 6e 2e 0d 0d 42 26 53 20 67 7c 72 20 66 7c 72 20 61 74 74 20 6b 75 6e 6e 61 20 68 7b 72 6c 65 64 61 20 6d 6f 64 65 6c 6c 65 6e 20 28 69 6e 74 65 20 66 7c 72 20 61 74 74 ┆ia räntan. B&S gör för att kunna härleda modellen (inte för att┆ 0x103e…120c 20 6b 75 6e 6e 61 20 61 6e 76 7b 6e 64 61 20 64 65 6e 2c 29 20 66 7c 6c 6a 61 6e 64 65 20 61 6e 74 61 67 61 6e 64 65 6e 3a 0d 0d 31 20 13 44 65 6e 20 72 69 73 6b 66 72 69 61 20 72 7b 6e 74 61 ┆ kunna använda den,) följande antaganden: 1 Den riskfria ränta┆ 0x103e…120c 6e 20 7b 72 20 6b 7b 6e 64 20 6f 63 68 20 6b 6f 6e 73 74 61 6e 74 20 75 6e 64 65 72 20 74 69 64 65 6e 20 74 69 6c 6c 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 69 6e 6c 7c 73 65 6e 2e 20 49 6e 2d 6f 63 ┆n är känd och konstant under tiden till optionens inlösen. In-oc┆ 0x103e…120c 68 20 75 74 6c 7d 6e 69 6e 67 20 73 6b 65 72 20 74 69 6c 6c 20 73 61 6d 6d 61 20 72 7b 6e 74 61 2e 18 30 0d 0d 32 20 13 41 6b 74 69 65 6b 75 72 73 65 6e 20 76 61 72 69 65 72 61 72 20 73 6c 75 ┆h utlåning sker till samma ränta. 0 2 Aktiekursen varierar slu┆ 0x103e…120c 6d 70 6d 7b 73 73 69 67 74 20 6b 6f 6e 74 69 6e 75 65 72 6c 69 67 74 20 7c 76 65 72 20 74 69 64 65 6e 20 6d 65 64 20 65 6e 20 76 61 72 69 61 6e 73 20 73 6f 6d 20 7b 72 20 70 72 6f 70 6f 72 74 ┆mpmässigt kontinuerligt över tiden med en varians som är proport┆ 0x103e…120c 69 6f 6e 65 6c 6c 20 6d 6f 74 20 6b 76 61 ┆ionell mot kva┆ 0x120c…13da (10,) 64 72 61 74 65 6e 20 70 7d 20 61 6b 74 69 65 6b 75 72 73 65 6e 2e 20 53 7d 6c 65 64 65 73 20 7b 72 20 73 61 6e 6e 6f 6c 69 6b 68 65 74 73 66 7c 72 64 65 6c 6e 69 6e 67 65 6e 20 61 76 20 6d 7c ┆draten på aktiekursen. Således är sannolikhetsfördelningen av mö┆ 0x120c…13da 6a 6c 69 67 61 20 61 6b 74 69 65 6b 75 72 73 65 72 20 65 66 74 65 72 20 76 61 72 6a 65 20 67 69 76 65 6e 20 74 69 64 72 79 6d 64 20 6c 6f 67 61 72 69 74 6d 69 73 6b 74 20 6e 6f 72 6d 61 6c 66 ┆jliga aktiekurser efter varje given tidrymd logaritmiskt normalf┆ 0x120c…13da 7c 72 64 65 6c 61 64 2e 18 30 0d 0d 33 20 13 41 6b 74 69 65 6e 20 67 65 72 20 69 6e 67 65 6e 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 2e 18 30 0d 0d 34 20 13 4f 70 74 69 6f 6e 65 6e 20 7b 72 20 22 65 75 ┆ördelad. 0 3 Aktien ger ingen utdelning. 0 4 Optionen är "eu┆ 0x120c…13da 72 6f 70 65 69 73 6b 22 2c 20 64 76 73 20 6b 61 6e 20 62 61 72 61 20 6c 7c 73 61 73 20 69 6e 20 70 7d 20 66 7c 72 66 61 6c 6c 6f 64 61 67 65 6e 2e 18 30 0d 0d 35 20 13 49 6e 67 61 20 74 72 61 ┆ropeisk", dvs kan bara lösas in på förfallodagen. 0 5 Inga tra┆ 0x120c…13da 6e 73 61 6b 74 69 6f 6e 73 6b 6f 73 74 6e 61 64 65 72 20 65 6c 6c 65 72 20 73 6b 61 74 74 65 72 20 66 7c 72 65 6b 6f 6d 6d 65 72 2e 18 30 0d 0d 36 20 13 44 65 74 20 7b 72 20 74 69 6c 6c 7d 74 ┆nsaktionskostnader eller skatter förekommer. 0 6 Det är tillåt┆ 0x120c…13da 65 74 20 61 74 74 20 73 7b 6c 6a 61 20 65 74 74 20 76 7b 72 64 65 70 61 70 70 65 72 20 6b 6f 72 74 20 28 73 65 20 44 65 66 69 6e 69 74 69 6f 6e 65 72 29 2e 18 30 0d 0d 4d 6f 64 65 6c 6c 65 6e ┆et att sälja ett värdepapper kort (se Definitioner). 0 Modellen┆ 0x120c…13da 20 7b 72 20 66 72 61 6d 72 7b 6b 6e 61 64 20 70 7d 20 65 6e 20 74 7b 6e 6b 74 20 72 69 73 6b 66 72 69 20 70 6f 72 74 66 7c 6c 6a 20 62 65 73 74 7d 65 6e 64 65 20 61 76 20 61 6b 74 69 65 72 20 ┆ är framräknad på en tänkt riskfri portfölj bestående av aktier ┆ 0x120c…13da 6f 63 68 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 72 20 28 ┆och optioner (┆ 0x13da…15a8 (11,) 63 61 6c 6c 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 29 20 64 7b 72 20 6d 61 6e 20 73 6b 61 6c 6c 20 76 61 72 61 20 61 6b 74 69 65 72 20 6c 7d 6e 67 20 6f 63 68 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 72 20 6b 6f 72 74 20 65 ┆call options) där man skall vara aktier lång och optioner kort e┆ 0x13da…15a8 6c 6c 65 72 20 74 76 7b 72 74 6f 6d 2e 20 47 65 6e 6f 6d 20 61 74 74 20 73 7b 6c 6a 61 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 72 20 69 20 64 65 6e 20 61 6b 74 69 65 20 6d 61 6e 20 68 61 72 20 6b 61 6e 20 61 ┆ller tvärtom. Genom att sälja optioner i den aktie man har kan a┆ 0x13da…15a8 6b 74 69 65 7b 67 61 72 65 6e 20 6b 6f 6d 70 65 6e 73 65 72 61 20 73 69 67 20 66 7c 72 20 6b 75 72 73 66 61 6c 6c 2e 20 50 72 69 73 65 74 2c 20 74 65 63 6b 6e 69 6e 67 73 6b 75 72 73 65 6e 2c ┆ktieägaren kompensera sig för kursfall. Priset, teckningskursen,┆ 0x13da…15a8 20 66 69 78 65 72 61 73 20 6a 75 20 69 20 66 7c 72 76 7b 67 2e 20 46 61 6c 6c 65 72 20 61 6b 74 69 65 6b 75 72 73 65 6e 20 6b 6f 6d 6d 65 72 20 69 6e 74 65 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 69 6e 6e 65 ┆ fixeras ju i förväg. Faller aktiekursen kommer inte optionsinne┆ 0x13da…15a8 68 61 76 61 72 65 6e 20 61 74 74 20 76 69 6c 6a 61 20 6c 7c 73 61 20 69 6e 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 20 6f 63 68 20 61 6b 74 69 65 7b 67 61 72 65 6e 20 66 7d 72 20 62 65 68 7d 6c 6c 61 20 62 ┆havaren att vilja lösa in optionen och aktieägaren får behålla b┆ 0x13da…15a8 7d 64 65 20 61 6b 74 69 65 6e 20 6f 63 68 20 6b 7c 70 65 73 6b 69 6c 6c 69 6e 67 65 6e 20 66 7c 72 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 2e 20 4f 6d 20 61 6b 74 69 65 6b 75 72 73 65 6e 20 73 74 69 67 65 ┆åde aktien och köpeskillingen för optionen. Om aktiekursen stige┆ 0x13da…15a8 72 20 69 20 73 74 7b 6c 6c 65 74 20 66 7d 72 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 69 6e 6e 65 68 61 76 61 72 65 6e 20 6b 7c 70 61 20 61 6b 74 69 65 6e 20 74 69 6c 6c 20 75 6e 64 65 72 6b 75 72 73 2c 20 6f ┆r i stället får optionsinnehavaren köpa aktien till underkurs, o┆ 0x13da…15a8 63 68 20 61 6b 74 69 65 7b 67 61 72 65 6e ┆ch aktieägaren┆ 0x15a8…1776 (12,) 20 67 7d 72 20 6d 69 73 74 65 20 6f 6d 20 65 6e 20 76 69 6e 73 74 2e 20 50 6f 72 74 66 7c 6c 6a 69 6e 6e 65 68 61 76 61 72 65 6e 20 73 6b 79 64 64 61 72 20 73 69 67 20 70 7d 20 64 65 74 74 61 ┆ går miste om en vinst. Portföljinnehavaren skyddar sig på detta┆ 0x15a8…1776 20 73 7b 74 74 20 6d 6f 74 20 73 76 7b 6e 67 6e 69 6e 67 61 72 20 69 20 61 6b 74 69 65 6b 75 72 73 65 6e 2e 20 47 65 6e 6f 6d 20 61 74 74 20 6a 75 73 74 65 72 61 20 70 6f 72 74 66 7c 6c 6a 65 ┆ sätt mot svängningar i aktiekursen. Genom att justera portfölje┆ 0x15a8…1776 6e 73 20 73 61 6d 6d 61 6e 73 7b 74 74 6e 69 6e 67 20 76 69 64 20 76 61 72 6a 65 20 6b 75 72 73 7b 6e 64 72 69 6e 67 20 6b 61 6e 20 64 65 6e 6e 65 20 73 6b 79 64 64 61 20 73 69 67 20 68 65 6c ┆ns sammansättning vid varje kursändring kan denne skydda sig hel┆ 0x15a8…1776 74 2e 20 41 76 6b 61 73 74 6e 69 6e 67 65 6e 73 20 73 74 6f 72 6c 65 6b 20 62 65 72 6f 72 20 70 7d 20 68 75 72 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 70 72 69 73 65 74 20 73 7b 74 74 73 20 69 20 66 7c 72 68 ┆t. Avkastningens storlek beror på hur optionspriset sätts i förh┆ 0x15a8…1776 7d 6c 6c 61 6e 64 65 20 74 69 6c 6c 20 6c 7c 70 74 69 64 2c 20 72 7b 6e 74 61 20 6d 6d 2e 20 42 26 53 20 68 7b 76 64 61 72 20 61 74 74 20 64 65 74 20 72 7b 74 74 61 20 70 72 69 73 65 74 20 70 ┆ållande till löptid, ränta mm. B&S hävdar att det rätta priset p┆ 0x15a8…1776 7d 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 20 7b 72 20 64 65 74 20 73 6f 6d 20 67 65 72 20 64 65 6e 20 72 69 73 6b 66 72 69 61 20 70 6f 72 74 66 7c 6c 6a 65 6e 2c 20 6d 65 64 20 6c 69 6b 61 20 68 7c 67 20 ┆å optionen är det som ger den riskfria portföljen, med lika hög ┆ 0x15a8…1776 61 76 6b 61 73 74 6e 69 6e 67 20 73 6f 6d 20 61 6e 64 72 61 20 72 69 73 6b 66 72 69 61 20 70 6c 61 63 65 72 69 6e 67 61 72 2e 20 4f 6d 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 70 72 69 73 65 74 20 73 61 74 74 ┆avkastning som andra riskfria placeringar. Om optionspriset satt┆ 0x15a8…1776 65 73 20 68 7c 67 72 65 20 73 6b 75 6c 6c ┆es högre skull┆ 0x1776…1944 (13,) 65 20 64 65 74 20 67 7d 20 61 74 74 20 66 7d 20 65 6e 20 68 7c 67 72 65 20 61 76 6b 61 73 74 6e 69 6e 67 20 70 7d 20 70 6f 72 74 66 7c 6c 6a 65 6e 20 7b 6e 20 72 69 73 6b 66 72 69 61 20 72 7b ┆e det gå att få en högre avkastning på portföljen än riskfria rä┆ 0x1776…1944 6e 74 61 6e 20 75 74 61 6e 20 72 69 73 6b 2e 20 4d 61 72 6b 6e 61 64 73 6a 7b 6d 76 69 6b 74 65 6e 20 73 6b 75 6c 6c 65 20 69 6e 74 65 20 74 69 6c 6c 7d 74 61 20 64 65 74 74 61 2e 20 46 7c 72 ┆ntan utan risk. Marknadsjämvikten skulle inte tillåta detta. För┆ 0x1776…1944 66 61 72 61 6e 64 65 74 20 6b 61 6c 6c 61 73 20 68 65 64 67 69 6e 67 2c 20 6f 63 68 20 62 65 73 6b 72 69 76 73 20 75 74 66 7c 72 6c 69 67 74 20 69 20 62 69 6c 61 67 61 20 74 76 7d 2e 20 49 20 ┆farandet kallas hedging, och beskrivs utförligt i bilaga två. I ┆ 0x1776…1944 70 72 61 6b 74 69 6b 65 6e 20 67 7d 72 20 69 6e 74 65 20 6d 65 74 6f 64 65 6e 20 61 74 74 20 61 6e 76 7b 6e 64 61 2c 20 65 66 74 65 72 73 6f 6d 20 6d 61 72 6b 6e 61 64 65 6e 20 69 6e 74 65 20 ┆praktiken går inte metoden att använda, eftersom marknaden inte ┆ 0x1776…1944 73 65 72 20 75 74 20 73 6f 6d 20 64 65 20 76 69 6c 6c 6b 6f 72 20 42 26 53 20 61 6e 74 61 67 69 74 2e 20 44 7b 72 65 6d 6f 74 20 6d 69 6e 73 6b 61 72 20 69 6e 74 65 20 76 7b 72 64 65 72 69 6e ┆ser ut som de villkor B&S antagit. Däremot minskar inte värderin┆ 0x1776…1944 67 73 66 6f 72 6d 65 6c 6e 73 20 61 6e 76 7b 6e 64 62 61 72 68 65 74 20 66 7c 72 20 64 65 74 2e 0d 0d 4f 6d 20 70 6f 72 74 66 7c 6c 6a 65 6e 20 7b 72 20 65 6e 20 61 6b 74 69 65 20 6c 7d 6e 67 ┆gsformelns användbarhet för det. Om portföljen är en aktie lång┆ 0x1776…1944 20 6f 63 68 20 31 2f 50 6f 2c 61 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 72 20 6b 6f 72 74 2c 20 7b 72 20 64 65 74 20 73 61 74 73 61 64 65 20 6b 61 70 69 74 61 6c 65 74 20 50 61 20 2d 20 50 6f 20 28 31 2f 50 ┆ och 1/Po,a optioner kort, är det satsade kapitalet Pa - Po (1/P┆ 0x1776…1944 6f 2c 61 29 2e 20 50 6f 2c 61 20 69 6e 6e ┆o,a). Po,a inn┆ 0x1944…1b12 (14,) 65 62 7b 72 20 70 61 72 74 69 61 6c 64 65 72 69 76 61 74 61 6e 20 70 7d 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b 74 74 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 20 6d 65 64 20 61 76 73 65 65 6e 64 65 20 70 7d 20 50 61 ┆ebär partialderivatan på optionsrättens värde med avseende på Pa┆ 0x1944…1b12 2e 20 4b 61 70 69 74 61 6c 66 7c 72 7b 6e 64 72 69 6e 67 65 6e 20 75 6e 64 65 72 20 74 69 64 65 6e 20 64 74 20 73 6b 61 6c 6c 20 64 7d 20 6d 6f 74 73 76 61 72 61 20 64 65 6e 20 72 69 73 6b 66 ┆. Kapitalförändringen under tiden dt skall då motsvara den riskf┆ 0x1944…1b12 72 69 61 20 66 7c 72 72 7b 6e 74 6e 69 6e 67 65 6e 20 75 6e 64 65 72 20 73 61 6d 6d 61 20 74 69 64 2e 20 46 6f 72 6d 65 6c 6c 74 20 62 6c 69 72 20 64 65 74 3a 0d 0d 20 20 20 50 61 20 2d 20 20 ┆ria förräntningen under samma tid. Formellt blir det: Pa - ┆ 0x1944…1b12 50 6f 20 28 31 2f 50 6f 2c 61 29 20 3d 20 28 50 61 20 2d 20 50 6f 2c 61 29 20 72 20 20 74 0d 0d 46 72 7d 6e 20 64 65 6e 6e 61 20 65 6b 76 61 74 69 6f 6e 20 6b 6f 6e 73 74 72 75 65 72 61 72 20 ┆Po (1/Po,a) = (Pa - Po,a) r t Från denna ekvation konstruerar ┆ 0x1944…1b12 42 26 53 20 65 6e 20 64 69 66 66 65 72 65 6e 74 69 61 6c 65 6b 76 61 74 69 6f 6e 20 73 6f 6d 20 69 20 73 69 6e 20 6c 7c 73 6e 69 6e 67 20 67 65 72 20 65 74 74 20 22 72 69 6b 74 69 67 74 22 20 ┆B&S en differentialekvation som i sin lösning ger ett "riktigt" ┆ 0x1944…1b12 6f 70 74 69 6f 6e 73 76 7b 72 64 65 2e 20 46 6f 72 6d 65 6c 6c 74 3a 0d 0d 20 20 50 6f 20 3d 20 50 61 20 2a 20 4e 28 64 31 29 20 2d 20 50 74 20 2f 20 65 20 20 20 20 2a 20 4e 28 64 32 29 0d 0d ┆optionsvärde. Formellt: Po = Pa * N(d1) - Pt / e * N(d2) ┆ 0x1944…1b12 64 7b 72 3a 0d 0d 20 20 64 31 20 3d 20 28 6c 6e 20 28 50 61 2f 50 74 29 20 2b 20 28 72 20 2b 20 30 2e 35 20 73 20 29 2a 74 29 20 2f 20 28 73 20 74 29 0d 0d 20 20 64 32 20 3d 20 28 6c 6e 20 28 ┆där: d1 = (ln (Pa/Pt) + (r + 0.5 s )*t) / (s t) d2 = (ln (┆ 0x1944…1b12 50 61 2f 50 74 29 20 2b 20 28 72 20 2d 20 ┆Pa/Pt) + (r - ┆ 0x1b12…1ce0 (15,) 30 2e 35 20 73 20 29 2a 74 29 20 2f 20 28 73 20 74 29 0d 0d 72 20 20 3d 20 72 69 73 6b 66 72 69 61 20 72 7b 6e 74 61 6e 20 66 7c 72 20 62 7d 64 65 20 69 6e 2d 6f 63 68 20 75 74 6c 7d 6e 69 6e ┆0.5 s )*t) / (s t) r = riskfria räntan för både in-och utlånin┆ 0x1b12…1ce0 67 0d 74 20 20 3d 20 74 69 64 65 6e 20 74 69 6c 6c 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 69 6e 6c 7c 73 65 6e 20 69 20 7d 72 0d 73 20 20 3d 20 73 74 61 6e 64 61 72 64 61 76 76 69 6b 65 6c 73 65 6e ┆g t = tiden till optionens inlösen i år s = standardavvikelsen┆ 0x1b12…1ce0 20 69 20 64 65 6e 20 7d 72 6c 69 67 61 20 61 76 6b 61 73 74 6e 69 6e 67 65 6e 0d 4e 28 64 29 3d 13 73 61 6e 6e 6f 6c 69 6b 68 65 74 65 6e 20 66 7c 72 20 61 74 74 20 65 6e 20 61 76 76 69 6b 65 ┆ i den årliga avkastningen N(d)= sannolikheten för att en avvike┆ 0x1b12…1ce0 6c 73 65 20 6d 69 6e 64 72 65 20 7b 6e 20 64 20 69 6e 74 72 7b 66 66 61 72 20 69 20 65 6e 20 6e 6f 72 6d 61 6c 66 7c 72 64 65 6c 6e 69 6e 67 20 6d 65 72 20 6d 65 64 65 6c 76 7b 72 64 65 74 20 ┆lse mindre än d inträffar i en normalfördelning mer medelvärdet ┆ 0x1b12…1ce0 6e 6f 6c 6c 20 6f 63 68 20 73 74 61 6e 64 61 72 64 61 76 76 69 6b 65 6c 73 65 6e 20 65 74 74 2e 18 30 0d 65 20 20 3d 20 62 61 73 65 6e 20 66 7c 72 20 64 65 6e 20 6e 61 74 75 72 6c 69 67 61 20 ┆noll och standardavvikelsen ett. 0 e = basen för den naturliga ┆ 0x1b12…1ce0 6c 6f 67 61 72 69 74 6d 65 6e 2e 0d 0d 19 45 74 74 20 72 7b 6b 6e 65 65 78 65 6d 70 65 6c 20 6b 61 6e 20 67 7c 72 61 73 20 6d 65 64 20 73 61 6d 6d 61 20 73 69 66 66 72 6f 72 20 73 6f 6d 20 74 ┆logaritmen. Ett räkneexempel kan göras med samma siffror som t┆ 0x1b12…1ce0 69 64 69 67 61 72 65 2c 20 64 76 73 3a 0d 0d 74 20 20 3d 20 33 2e 36 37 20 7d 72 0d 50 74 20 3d 20 36 35 2e 32 30 20 6b 72 0d 50 61 20 3d 20 36 39 20 6b 72 0d 72 20 20 3d 20 30 2e 31 34 20 25 ┆idigare, dvs: t = 3.67 år Pt = 65.20 kr Pa = 69 kr r = 0.14 %┆ 0x1b12…1ce0 0d 75 20 20 3d 20 31 2e 38 37 20 6b 72 0d ┆ u = 1.87 kr ┆ 0x1ce0…1eae (16,) 6f 63 68 20 76 69 20 69 6e 66 7c 72 20 64 7b 72 74 69 6c 6c 20 73 74 61 6e 64 61 72 64 61 76 76 69 6b 65 6c 73 65 6e 20 69 20 64 65 6e 20 7d 72 6c 69 67 61 20 61 76 6b 61 73 74 6e 69 6e 67 65 ┆och vi inför därtill standardavvikelsen i den årliga avkastninge┆ 0x1ce0…1eae 6e 20 3d 20 30 2e 33 20 28 64 76 73 20 33 30 20 25 29 0d 0d 67 65 72 20 64 65 74 20 61 74 74 0d 0d 20 20 64 31 20 3d 20 28 6c 6e 28 36 39 2f 36 35 2e 32 29 20 2b 20 28 30 2e 31 34 20 2b 20 30 ┆n = 0.3 (dvs 30 %) ger det att d1 = (ln(69/65.2) + (0.14 + 0┆ 0x1ce0…1eae 2e 35 2a 30 2e 33 20 20 29 2a 33 2e 36 37 29 20 2f 20 28 30 2e 33 2a 20 33 2e 36 37 29 20 3d 20 31 2e 32 38 0d 0d 20 20 64 32 20 3d 20 28 6c 6e 28 36 39 2f 36 35 2e 32 29 20 2b 20 28 30 2e 31 ┆.5*0.3 )*3.67) / (0.3* 3.67) = 1.28 d2 = (ln(69/65.2) + (0.1┆ 0x1ce0…1eae 34 20 2d 20 30 2e 35 2a 30 2e 33 20 29 2a 33 2e 36 37 20 2f 20 28 30 2e 33 2a 20 33 2e 36 37 29 20 3d 20 30 2e 37 31 0d 0d 54 61 62 65 6c 6c 20 67 65 72 20 61 74 74 20 4e 20 28 31 2e 32 38 29 ┆4 - 0.5*0.3 )*3.67 / (0.3* 3.67) = 0.71 Tabell ger att N (1.28)┆ 0x1ce0…1eae 20 3d 20 30 2e 38 39 39 37 0d 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 6f 63 68 20 4e 20 28 30 2e 37 31 29 20 3d 20 30 2e 37 36 31 31 0d 0d 42 6c 61 63 6b 20 6f 63 68 20 53 63 68 6f 6c 65 73 20 6d 6f ┆ = 0.8997 och N (0.71) = 0.7611 Black och Scholes mo┆ 0x1ce0…1eae 64 65 6c 6c 20 74 61 72 20 69 20 75 72 73 70 72 75 6e 67 73 66 6f 72 6d 65 6e 20 69 6e 74 65 20 68 7b 6e 73 79 6e 20 74 69 6c 6c 20 61 6b 74 69 65 6e 73 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 2e ┆dell tar i ursprungsformen inte hänsyn till aktiens utdelningar.┆ 0x1ce0…1eae 20 4d 65 6e 20 73 6f 6d 20 74 69 64 69 67 61 72 65 20 67 7c 72 20 76 69 20 64 65 74 20 67 65 6e 6f 6d 20 61 74 74 20 6e 75 76 7b 72 64 65 62 65 72 7b 6b 6e 61 20 64 65 20 74 72 65 20 61 6b 74 ┆ Men som tidigare gör vi det genom att nuvärdeberäkna de tre akt┆ 0x1ce0…1eae 69 65 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 20 ┆ieutdelningar ┆ 0x1eae…207c (17,) 61 08 27 20 31 2e 38 37 20 6b 72 6f 6e 6f 72 20 73 6f 6d 20 62 65 74 61 6c 61 73 20 75 6e 64 65 72 20 6f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 72 65 73 74 65 72 61 6e 64 65 20 6c 69 76 73 6c 7b 6e 67 64 ┆a ' 1.87 kronor som betalas under optionens resterande livslängd┆ 0x1eae…207c 20 33 2e 36 37 20 7d 72 2e 20 56 69 20 76 7b 6c 6a 65 72 20 61 74 74 20 73 6c 7d 20 69 20 65 6e 20 74 61 62 65 6c 6c 20 66 7c 72 20 64 69 73 6b 6f 6e 74 65 72 69 6e 67 20 61 76 20 72 65 67 65 ┆ 3.67 år. Vi väljer att slå i en tabell för diskontering av rege┆ 0x1eae…207c 6c 62 75 6e 64 65 74 20 7d 74 65 72 6b 6f 6d 6d 61 6e 64 65 20 62 65 6c 6f 70 70 2c 20 6f 63 68 20 68 69 74 74 61 72 20 66 61 6b 74 6f 72 6e 20 32 2e 33 32 20 73 6f 6d 20 76 69 20 6d 75 6c 74 ┆lbundet återkommande belopp, och hittar faktorn 2.32 som vi mult┆ 0x1eae…207c 69 70 6c 69 63 65 72 61 72 20 6d 65 64 20 75 74 64 65 6c 6e 69 6e 67 61 72 6e 61 20 31 2e 38 37 2e 20 4e 75 76 7b 72 64 65 74 20 61 76 20 64 65 73 73 61 20 62 6c 69 72 20 34 2e 33 34 20 6b 72 ┆iplicerar med utdelningarna 1.87. Nuvärdet av dessa blir 4.34 kr┆ 0x1eae…207c 6f 6e 6f 72 2e 0d 0d 4f 70 74 69 6f 6e 65 6e 73 20 76 7b 72 64 65 20 62 6c 69 72 0d 0d 20 20 50 6f 20 3d 20 28 36 39 20 2d 20 34 2e 33 34 29 2a 30 2e 38 39 39 37 20 2d 20 28 36 35 2e 32 30 20 ┆onor. Optionens värde blir Po = (69 - 4.34)*0.8997 - (65.20 ┆ 0x1eae…207c 2f 20 65 20 20 20 20 20 20 20 29 2a 30 2e 37 36 31 31 20 3d 20 32 38 2e 34 39 20 6b 72 2e 0d 0d 44 65 74 20 68 7b 72 20 76 7b 72 64 65 74 20 6c 69 67 67 65 72 20 6e 7b 72 6d 61 72 65 20 6d 61 ┆/ e )*0.7611 = 28.49 kr. Det här värdet ligger närmare ma┆ 0x1eae…207c 72 6b 6e 61 64 65 6e 73 20 33 34 20 6b 72 6f 6e 6f 72 20 7b 6e 20 64 65 20 66 7c 72 72 61 20 6b 72 69 6e 67 20 32 33 20 6b 72 6f 6e 6f 72 2e 0c 75 6d 20 61 74 74 20 6f 70 74 69 6f 6e 73 72 7b ┆rknadens 34 kronor än de förra kring 23 kronor. um att optionsrä┆ 0x1eae…207c 74 74 65 6e 20 7b 6e 6e 75 20 69 6e 74 65 ┆tten ännu inte┆